也可用归纳法证明:
-显然 $1^p\equiv 1\pmod p$,假设 $a^p\equiv a\pmod p$ 成立,那么通过二项式定理有
+显然 $1^p\equiv 1\pmod p$ ,假设 $a^p\equiv a\pmod p$ 成立,那么通过二项式定理有
$$
(a+1)^p=a^p+\binom{p}{1}a^{p-1}+\binom{p}{2}a^{p-2}+\cdots +\binom{p}{p-1}a+1
$$
-因为 $\binom{p}{k}=\frac{p(p-1)\cdots (p-k+1)}{k!}$ 对于 $1\leq k\leq p-1$ 成立,在模 $p$ 意义下 $\binom{p}{1}\equiv \binom{p}{2}\equiv \cdots \equiv \binom{p}{p-1}\equiv 0\pmod p$,那么 $(a+1)^p \equiv a^p +1\pmod p$,将 $a^p\equiv a\pmod p$ 带入得 $(a+1)^p\equiv a+1\pmod p$ 得证。
+因为 $\binom{p}{k}=\frac{p(p-1)\cdots (p-k+1)}{k!}$ 对于 $1\leq k\leq p-1$ 成立,在模 $p$ 意义下 $\binom{p}{1}\equiv \binom{p}{2}\equiv \cdots \equiv \binom{p}{p-1}\equiv 0\pmod p$ ,那么 $(a+1)^p \equiv a^p +1\pmod p$ ,将 $a^p\equiv a\pmod p$ 带入得 $(a+1)^p\equiv a+1\pmod p$ 得证。
## 欧拉定理