## 归并排序
+归并排序是 [分治](/basic/divide-and-conquer) 地来将一个数组排序。
+
+归并排序分为三个过程：
+1. 将数列划分为两部分（直接分，而不是像快速排序那样要求保证相对大小关系）
+2. 递归到两个子序列中分别进行归并排序
+3. 合并两个子序列
+
+不难发现，归并排序的核心是如何合并两个子序列，前两步都很好实现。
+
+其实合并的时候也不难操作。注意到两个子序列在第二步中已经保证了都是有序的了，第三步中实际上是想要把两个 **有序** 数列合并起来。
+
+```c++
+void merge(int ll, int rr) {
+ // 用来把 a[ll.. rr - 1] 这一区间的数排序。 t 数组是临时存放有序的版本用的。
+ if (rr - ll <= 1) return;
+ int md = ll + (rr - ll >> 1);
+ merge(ll, md); merge(md, rr);
+ int p = ll, q = md, s = ll;
+ while (s < rr) {
+ if (p >= md || (q < rr && a[p] > a[q])) {
+ t[s++] = a[q++];
+ // ans += md - p;
+ } else t[s++] = a[p++];
+ }
+ for (int i = ll; i < rr; ++i) a[i] = t[i];
+}
+```
+
+由于 `||` 是短路运算符，这里面 if 判断的情况是 “第一部分已经完全合并完了” 或者 “两个都没有合并完，且前一个的队首要大于后一个”，这两种情况都是要把后一个子序列的队首放到新序列的当前位置中。
+
+### 逆序对
+
+归并排序还可以用来求逆序对的个数。
+
+所谓逆序对，就是数对 $(i, j)$，满足 $a[i] > a[j]$ 且 $i < j$。
+
+可以用 [树状数组](/data-structure/intermediate/bit)、[线段树](/data-structure/intermediate/segment/) 等数据结构来求，也可以用归并排序来求。
+
+具体来说，上面归并排序中间注释掉的 `ans += md - p` 就是在统计逆序对个数。
+
+是因为，那里把靠后的数放到前面了（较小的数放在前面），所以这个数的原来位置以前的、比它大的数都会和他形成逆序对，而这个个数就是还没有合并进去的数的个数，即为 `md - p`。
+
+### 参考
+
+https://www.geeksforgeeks.org/merge-sort/
+
## 快速排序
-C 函数模板库实现了快速排序，即 `stdlib.h` 当中的 `qsort`。但在 OI 相关比赛当中，更为常见的库排序函数是 C++ `algorithm` 库中的 `std::sort` 函数。C++ 标准并未严格要求此函数的实现算法，具体实现取决于编译器，但他的时间复杂度是 $O(N\log N)$ 的。可以查阅 [std::sort()](http://www.cplusplus.com/reference/list/list/sort/)
+快速排序是 [分治](/basic/divide-and-conquer) 地来将一个数组排序。
+
+快速排序分为三个过程：
+1. 将数列划分为两部分（不是直接分，要求保证相对大小关系）
+2. 递归到两个子序列中分别进行快速排序
+3. 不用合并，因为此时数列已经完全有序
+
+和归并排序不同，第一步并不是直接分成前后两个序列，而是在分的过程中要保证相对大小关系。
+
+第三步中的序列已经分别有序且第一个序列中的数都小于第二个数，所以直接拼接起来就好了。
+
+具体来说，第一步要是要把数列分成两个部分，然后保证前一个子数列中的数都小于后一个子数列中的数。
+
+怎么操作呢？为了保证平均时间复杂度，一般是随机选择一个数 m 来当做两个子数列的分界。
+
+之后，维护一前一后两个指针 p 和 q，依次考虑当前的数是否放在了应该在的位置（前还是后），当前位置放对了之后，再移动指针继续处理，直到两个指针相遇。
+
+如果当前的数没放对呢？比如说如果后面的指针 q 遇到了一个比 m 小的数，那么可以交换 p 和 q 位置上的数，再把 p 向后移一位。
+
+其实，快速排序没有指定应如何具体实现第一步，不论是选择 m 的过程还是划分的过程，都不是只有一种实现方法。
+
+注意，一般我们说的快速排序的时间复杂度是平均为 $O(N\log N)$，最坏是 $O(n^2)$，只不过实践中几乎不可能达到最坏情况。
+
+其实，在选择 m 的过程中使用 [Median of Medians](https://en.wikipedia.org/wiki/Median_of_medians) 算法，就可以保证最坏时间复杂度为 $O(N\log N)$，但是由于j小微复杂，实践中一般不使用。
+
+### STL
+
+C 函数模板库实现了快速排序，即 `stdlib.h` 当中的 `qsort`。
+
+但在 OI 相关比赛当中，更为常见的库排序函数是 C++ `algorithm` 库中的 `std::sort` 函数。
+
+C++ 标准并未严格要求此函数的实现算法，具体实现取决于编译器。
+
+旧版 C++ 标准中仅要求它的 **平均** 时间复杂度是 $O(N\log N)$ 的，但在 C++11 中要求它的 **最坏** 时间复杂度是 $O(N\log N)$ 的。可以查阅 [std::sort()](https://en.cppreference.com/w/cpp/algorithm/sort)
+
+在 [libstdc++](https://github.com/mirrors/gcc/blob/master/libstdc++-v3/include/bits/stl_algo.h) 和 [libc++](http://llvm.org/svn/llvm-project/libcxx/trunk/include/algorithm) 中使用的都是 [Introsort](https://en.wikipedia.org/wiki/Introsort)。
+
+Introsort 限制了快速排序的分治深度，当分治达到一定深度之后，改用最坏时间复杂度为 $O(N\log N)$ 的排序算法（比如堆排序）来给子数组排序。
+
+Introsort 的这个限制使得它的最坏时间复杂度是 $O(N\log N)$ 的。
快速用法：
```c++
// 这句代码直接修改 a 数组里的元素顺序，使得现在它是从小到大排列的
```
+### 线性找第 k 大的数
+
+找第 k 大的数，最简单的方法是先排序，然后直接找到第 k 大的位置的元素。这样做的时间复杂度是 $O(N\log N)$，对于这个问题来说很不划算。事实上，我们有 $O(n)$ 的解法。
+
+考虑快速排序的划分过程，在快速排序的 “划分” 结束后，数列 $A[p \cdots r]]$ 被分成了 $A[p \cdots q]$ 和 $A[q+1 \cdots r]$，此时可以按照左边元素的个数（$q - p + 1$）和 k 的大小关系来判断是只在左边还是只在右边递归地求解。
+
+可以证明，在期望意义下，程序的时间复杂度为 $O(n)$。
+
+### 参考
+
+https://stackoverflow.com/questions/22339240/what-algorithms-are-used-in-c11-stdsort-in-different-stl-implementations
+
+https://en.cppreference.com/w/cpp/algorithm/sort
+
## 计数排序
计数排序可以在 $O(n)$ 的时间内排序，但是它要求所有的数都出现在一定的范围内。
一般考虑的是某一范围内的整数，但是计数排序也可以和 [离散化](/misc/discrete) 一起使用，来对浮点数、大整数进行计数排序。
-## 参考
+### 参考
https://www.geeksforgeeks.org/counting-sort/
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