fix math display

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index 8ff1772..432f0d3 100644 (file)
--- a/docs/math/combination.md
+++ b/docs/math/combination.md
@@ -46,7 +46,7 @@ $$A_n^m = n(n-1)(n-2) \cdots (n-m+1) = \frac{n!}{(n - m)!}$$
 
 $n$ 个人 $m$($m \le n$) 个出来，不排队，不在乎顺序 $C_n^m$。如果在乎排列那么就是 $A_n^m$，如果不在乎那么就要除掉重复，那么重复了多少？同样选出的来的 $m$ 个人，他们还要“全排”得 $A_n^m$，所以得：
 
-$$C_n^m \times m! = A_n,m$$
+$$C_n^m \times m! = A_n^m$$
 
 $$C_n^m = \frac{A_n^m}{m!} = \frac{n!}{m!(n-m)!}$$
 
@@ -71,9 +71,9 @@ $$Q_n^r = \frac{A_n^r}{r} = \frac{n!}{r \times (n-r)!}$$
 
 ###重复排列（有限）
 
-$k$种不一样的球，每种球的个数分别是 $a_1,a_2,\cots,a_k$，设 $n=a_1+a_2+…+a_k$，这 $n$ 个球的全排列数，为
+$k$种不一样的球，每种球的个数分别是 $a_1,a_2,\cdots,a_k$，设 $n=a_1+a_2+…+a_k$，这 $n$ 个球的全排列数，为
 
-$$\frac{n!}{a_1! \times a_2! \times \cots \times a_k!}$$
+$$\frac{n!}{a_1! \times a_2! \times \cdots \times a_k!}$$
 
 ###重复组合（无限）
 $n$ 种不一样的球，每种球的个数是无限的,从中选$k$个出来，不用排列，是组合，为$C_{n+k-1}^{k}$.
@@ -81,15 +81,15 @@ $n$ 种不一样的球，每种球的个数是无限的,从中选$k$个出来，
 证明：
 >假设选出来的数（排好序）：
 
->$$1 \le b_1 \le b_2 \le b_3 \le \cots \le b_k \le n$$
+>$$1 \le b_1 \le b_2 \le b_3 \le \cdots \le b_k \le n$$
 
 >这题的难点就是 $=$ 号，现在去掉 $=$ 号，所以有：
 
->$$1 \le b_1<b_2+1<b_3+2<b_4+3<\cots<b_k+k-1 \le n+k-1$$
+>$$1 \le b_1 < b_2+1 < b_3+2 < b_4+3 < \cdots < b_k+k-1 \le n+k-1$$
 
 中间还是 $k$ 个数！不过已经不是 $b$ 系列，而是 $c$ 系列，**假设 $c[i]=b[i]+i-1$，所以**
 
-$$1 \le c_1<c_2<c_3<c_4<\cots<c_k \le n+k-1$$
+$$1 \le c_1 < c_2 < c_3 < c_4 < \cdots <c_k \le n+k-1$$
 
 所以问题就开始转换为无重复组合问题，即在 $n+k-1$ 个元素中选中 $k$ 个的组合数$C_{n+k-1}^{k}$。
 
@@ -104,14 +104,14 @@ $1 \sim n$ 这 $n$ 个自然数中选 $k$ 个，这 $k$ 个数中任何两个数
 $5$ 本书，编号分别是 $1,2,3,4,5$，现在要把这5本书是放在编号 $1,2,3,4,5$ 的书架上，要求书的编号和书架的编号不一样，请问有多少种不一样的放置方法？
 
 再看一个小问题：<br>
-胸口贴着编号为 $1,2,\cots,n$ 的 $n$ 个球员分别住在编号为 $1,2,\cots,n$ 的 $n$ 个房间里面。现规定每个人住一个房间，自己的编号不能和房间的编号一样。
+胸口贴着编号为 $1,2,\cdots,n$ 的 $n$ 个球员分别住在编号为 $1,2,\cdots,n$ 的 $n$ 个房间里面。现规定每个人住一个房间，自己的编号不能和房间的编号一样。
 
 这就是错排问题。当 $n=3$ 时，只能为 312 或 231 这两种。
 
 那么错排问题的解题思路是什么呢？我们以第二个问题为例：
 **递推还是王道！！！**
 
-刚开始所有球员都住在和自己编号一样的房间里面。然后错排开始了，第$n$个球员从第出来。
+刚开始所有球员都住在和自己编号一样的房间里面。然后错排开始了，第$n$个球员从第$n$个房间出来。
 
 第一种情况：<br>
 $n$ 想和 $i(1 \le i \le n-1)$ 其中任何一个球员换房间，其他 $n-2$ 个人换房间的事情，他们就不管了。其他 $n-2$ 个球员的的错排数为 $d[n-2]$，$n$ 可以和前面 $1 \sim n-1$ 对换，所以有 $n-1$ 个 $d[n-2]$。
@@ -123,25 +123,25 @@ $n$ 想和 $i(1 \le i \le n-1)$ 其中任何一个球员换房间，但是 $n$ 
 
 如果理解了以上内容，那么错排的公式就出来了：
 
-$$d_n = (n-1)(d_{n-2} + d_{n-1}) (n\geq3)$$
+$$d_n = (n-1)(d_{n-2} + d_{n-1}) (n\geq 3)$$
 
 同时也有：
 
 $$d_n = n * d_{n-1} + (-1)^n$$
 
-错位排列数列为 $0,1,2,9,44,265,\cots$
+错位排列数列为 $0,1,2,9,44,265,\cdots$
 
 ##加法&乘法原理
 
 ###加法原理
 
 完成一个工程可以有 $n$ 类办法，$a[i](1 \le i \le n)$ 代表第 $i$ 类方法的数目。<br>
-那么完成这件事共有 $S=a[1]+a[2]+\cots+a[n]$ 种不同的方法。
+那么完成这件事共有 $S=a[1]+a[2]+\cdots +a[n]$ 种不同的方法。
 
 ###乘法原理
 
 完成一个工程需要分 $n$ 个步骤，$a[i](1 \le i \le n)$ 代表第 $i$ 个步骤的不同方法数目。<br>
-那么完成这件事共有$S = a[1] \times a[2] \times \cots \times a[n]$ 种不同的方法。
+那么完成这件事共有$S = a[1] \times a[2] \times \cdots \times a[n]$ 种不同的方法。
 
 ###两原理的区别
 
@@ -149,7 +149,7 @@ $$d_n = n * d_{n-1} + (-1)^n$$
 
 ##几个关于组合的公式
 
-$$C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + C_n^3 + \cots + C_n^m = 2^n$$
+$$C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + C_n^3 + \cdots + C_n^m = 2^n$$
 
 $$C_n^r + C_n^{r+1} = C_{n+1}^{r+1}$$