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diff --git a/docs/basic/bucket-sort.md b/docs/basic/bucket-sort.md
index 74eb164..5d8b29a 100644 (file)
--- a/docs/basic/bucket-sort.md
+++ b/docs/basic/bucket-sort.md
@@ -23,9 +23,9 @@
 
 ### 时间复杂度
 
-桶排序的平均时间复杂度为 $O(n + n^2/k + k)$（将值域平均分成 $n$ 块 + 排序 + 重新合并元素），当 $k\approx n$ 时为 $O(n)$。[^ref1]
+桶排序的平均时间复杂度为 $O(n + n^2/k + k)$ （将值域平均分成 $n$ 块 + 排序 + 重新合并元素），当 $k\approx n$ 时为 $O(n)$ 。[^ref1]
 
-桶排序的最坏时间复杂度为 $O(n^2)$。
+桶排序的最坏时间复杂度为 $O(n^2)$ 。
 
 ## 算法实现
 
@@ -68,4 +68,5 @@ void bucket_sort() {
 ```
 
 ## 参考资料与注释
-[^ref1]: [（英文）Bucket sort - Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Bucket_sort#Average-case_analysis)
\ No newline at end of file
+
+[^ref1]:  [（英文）Bucket sort - Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Bucket_sort#Average-case_analysis) 

diff --git a/docs/math/balanced-ternary.md b/docs/math/balanced-ternary.md
index d665dc0..c2de1aa 100644 (file)
--- a/docs/math/balanced-ternary.md
+++ b/docs/math/balanced-ternary.md
@@ -92,9 +92,9 @@ $$
 > 1. 当 $Y_{10}=0$ ，显然 $A_3 = B_3 = 0_3$ ，与假设矛盾。
 > 2.  当 $Y_{10}>0$ ：
 >
->     - 将 $A_3$ ，$B_3$ 的数位按低位到高位编号，记 $a_i$ 为 $A_3$ 的第 $i$ 位，$b_i$ 为 $B$ 的第 $i$ 位。 在 $A_3,B_3$ 中，必存在 $i$ 使得 $a_i\neq b_i$ 。可以发现第 $i-1,i-2,\dots,0$ 位均与证明无关。因此，将 $A_3,B_3$ 按位右移 $i$ 位，得到 $A_3',B_3'$ ，原问题等价于证明 $A_3'=B_3'$ 。
+>     - 将 $A_3$ ， $B_3$ 的数位按低位到高位编号，记 $a_i$ 为 $A_3$ 的第 $i$ 位， $b_i$ 为 $B$ 的第 $i$ 位。在 $A_3,B_3$ 中，必存在 $i$ 使得 $a_i\neq b_i$ 。可以发现第 $i-1,i-2,\dots,0$ 位均与证明无关。因此，将 $A_3,B_3$ 按位右移 $i$ 位，得到 $A_3',B_3'$ ，原问题等价于证明 $A_3'=B_3'$ 。
 >
->     - 对于 $A_3',B_3'$ 第 $0$ 位， $a_0 \neq b_0$ 。假设 $b_0 > a_0$ （ $a_0>b_0$ 时结果相同），易知 $b_0 - a_0 \in \{1,2\}$ 。 $A_3'$ 的位 $i=1,2,3,...$ 对于 $A_3'$ 的值的贡献为 $S_1 = a_1 \times 3^1 + a_2 \times 3^2+ \dots$ ， $B_3'$ 的位 $i=1,2,3,...$ 对于 $B_3'$ 的值的贡献为 $S_2 = b_1 \times 3^1 + b_2 \times 3^2 + \dots$ 。由于 $A_3' = B_3'$ ，得 $S_1 - S_2 = b_0 - a_0$ 。 $S_1,S_2$ 有公因子 $3$ ，而 $b_0 - a_0$ 不能被 $3$ 整除，与假设矛盾，因此 $A_3'\neq B_3'$
+>     - 对于 $A_3',B_3'$ 第 $0$ 位， $a_0 \neq b_0$ 。假设 $b_0 > a_0$ （ $a_0>b_0$ 时结果相同），易知 $b_0 - a_0 \in \{1,2\}$ 。 $A_3'$ 的位 $i=1,2,3,...$ 对于 $A_3'$ 的值的贡献为 $S_1 = a_1 \times 3^1 + a_2 \times 3^2+ \dots$ ， $B_3'$ 的位 $i=1,2,3,...$ 对于 $B_3'$ 的值的贡献为 $S_2 = b_1 \times 3^1 + b_2 \times 3^2 + \dots$ 。由于 $A_3' = B_3'$ ，得 $S_1 - S_2 = b_0 - a_0$ 。 $S_1,S_2$ 有公因子 $3$ ，而 $b_0 - a_0$ 不能被 $3$ 整除，与假设矛盾，因此 $A_3'\neq B_3'$ 
 > 3. 当 $Y_{10}<0$ ，证法与 $Y_{10}>0$ 相同。
 
 故对于任意十进制 $Y_{10}$ ，均有唯一对应的平衡三进制 $X_3$ 。