Robert E. Tarjan (1948~) 美国人。
-Tarjan 发明了很多很有用的东西，下到 NOIP 上到 CTSC 难度的都有。
+Tarjan 发明了很多很有用的东西，下到 NOIP 上到 CTSC 难度的都有。光Tarjan算法就有很多，比如求各种联通分量的Tarjan算法，求LCA（Lowest Common Ancestor，最近公共祖先）的Tarjan算法。并查集、Splay也是Tarjan发明的。
-【举例子：Tarjan 算法，并查集，Splay 树，Tarjan 离线求 lca（Lowest Common Ancestor，最近公共祖先）等等】
+我们这里要介绍的是在有向图中求强连通分量的 Tarjan 算法。
-我们这里要介绍的是图论中的 Tarjan 算法，用来处理各种连通性相关的问题。
+另外，Tarjan的名字`j`不发音，中文译为塔扬。
-### 定义
+### DFS 生成树
-方便起见，我们先定义一些东西。
+在介绍该算法之前，先来了解**DFS 生成树**，我们以下面的有向图为例：
- `dfn[x]` ：结点 x 第一次被访问的时间戳 (dfs number)
+
- `low[x]` ：结点 x 所能访问到的点的 dfn 值的最小值
+有向图的DFS生成树主要有 4 种边（不一定全部出现）：
+1. 树边（tree edge）：绿色边，每次搜索找到一个还没有访问过的结点的时候就形成了一条树边。
+2. 反祖边（back edge）：黄色边，也被叫做回边，即指向祖先结点的边。
+3. 横叉边（cross edge）：红色边，它主要是在搜索的时候遇到了一个已经访问过的结点，但是这个结点**并不是**当前结点的祖先时形成的。
+4. 前向边（forward edge）：蓝色边，它是在搜索的时候遇到子树中的结点的时候形成的。
-这里的树指的是 DFS 树
+一个结点的子树内结点的 DFN 都大于该结点的 DFN。
-所有结点按 dfn 排序即可得 dfs 序列
+从根开始的一条路径上的 DFN 严格递增。
-### DFS 树的性质
+我们考虑 DFS 生成树与强连通分量之间的关系。
-一个结点的子树内结点的 dfn 都大于该结点的 dfn。
+如果结点 u 是某个强连通分量在搜索树中遇到的第一个结点，那么这个强连通分量的其余结点肯定是在搜索树中以 u 为根的子树中。u 被称为这个强连通分量的根。
-从根开始的一条路径上的 dfn 严格递增。
+反证法：假设有个结点 v 在该强连通分量中但是不在以 u 为根的子树中，那么 u 到 v 的路径中肯定有一条离开子树的边。但是这样的边只可能是横叉边或者反祖边，然而这两条边都要求指向的结点已经被访问过了，这就和 u 是第一个访问的结点矛盾了。得证。
-一棵 DFS 树被构造出来后，考虑图中的非树边。
+### Tarjan 算法求强连通分量
-前向边 (forward edge)：祖先→儿子
+在 Tarjan 算法中为每个结点 u 维护了以下几个变量：
+1. $DFN[u]$：深度优先搜索遍历时结点 u 被搜索的次序。
+2. $low[u]$：设以 u 为根的子树为 $Subtree(u)$。$low[u]$ 定义为以下结点的 $DFN$ 的最小值：$Subtree(u)$ 中的结点；从 $Subtree(u)$ 通过一条不在搜索树上的边能到达的结点。
-后向边 (backward edge)：儿子→祖先
+显然，按照 DFS 搜索树的递归顺序，$low[u]$ 是单调递增的。
-横å\8f\89è¾¹ (cross edge)ï¼\9a没æ\9c\89ç¥\96å\85\88â\80\94å\84¿å\90å\85³ç³»ç\9a\84
+æ\8c\89ç\85§æ·±åº¦ä¼\98å\85\88æ\90\9cç´¢ç®\97æ³\95æ\90\9cç´¢ç\9a\84次åº\8f对å\9b¾ä¸æ\89\80æ\9c\89ç\9a\84ç»\93ç\82¹è¿\9bè¡\8cæ\90\9cç´¢ã\80\82å\9c¨æ\90\9cç´¢è¿\87ç¨\8bä¸ï¼\8c对äº\8eç»\93ç\82¹ $u$ å\92\8cä¸\8eå\85¶ç\9b¸é\82»ç\9a\84ç»\93ç\82¹ $v$ è\80\83è\99\91 3 ç§\8dæ\83\85å\86µï¼\9a
-注意：横叉边只会往 dfn 减小的方向连接
+1. $v$ 未被访问：继续对 $v$ 进行深度搜索。在回溯过程中，用 $low[v]$ 更新 $low[u]$。因为存在从 $u$ 到 $v$ 的直接路径，所以 $v$ 能够回溯到的已经在栈中的结点，$u$ 也一定能够回溯到。
+2. $v$ 被访问过，已经在栈中：即已经被访问过，根据 $low$ 值的定义（能够回溯到的最早的已经在栈中的结点），则用 $DFN[v]$ 更新 $low[u]$.
+3. $v$ 被访问过，已不在在栈中：说明 $v$ 已搜索完毕，其所在连通分量已被处理，所以不用对其做操作。
-注意：在无向图中，没有横叉边（为什么？）
+将上述算法写成伪代码：
+
+```
+TARJAN_SEARCH(int u)
+ vis[u]=true
+ low[u]=dfn[u]=++dfncnt
+ push u to the stack
+ for each (u,v) then do
+ if v hasn't been search then
+ TARJAN_SEARCH(v) // 搜索
+ low[u]=min(low[u],low[v])// 回溯
+ else if v has been in the stack then
+ low[u]=min(low[u],dfn[v])
+```
+
+对于一个连通分量图，我们很容易想到，在该连通图中有且仅有一个 $DFN[u]=low[u]$。该结点一定是在深度遍历的过程中，该连通分量中第一个被访问过的结点，因为它的 DFN 值和 $low$ 值最小，不会被该连通分量中的其他结点所影响。
+
+因此，在回溯的过程中，判定 $DFN[u]=low[u]$ 的条件是否成立，如果成立，则栈中从 $u$ 后面的结点构成一个 SCC。
### 实现
```cpp
-dfs(x) {
- dfn[x] = low[x] = ++index;
- S.push(x);
- instack[x] = true;
- for
- each edge(x, y) {
- if (!dfn[y]) {
- dfs(y);
- low[x] = min(low[x], low[y]);
- } else if (instack[y]) {
- low[x] = min(low[x], dfn[y]);
- }
- }
- if (dfn[x] == low[x]) {
- while (1) {
- t = S.pop();
- instack[t] = false;
- if (t == x) break;
- }
- }
+int dfn[N],low[N],dfncnt,s[N],tp;
+int scc[N],sc;// 结点 i 所在 scc 的编号
+int sz[N];// 强连通 i 的大小
+void tarjan(int u){
+ low[u]=dfn[u]=++dfncnt, s[++tp]=u;
+ for(int i=h[u];i;i=e[i].nex){
+ const int &v=e[i].t;
+ if(!dfn[v])tarjan(v), low[u]=min(low[u],low[v]);
+ else if(!scc[v]) low[u]=min(low[u],dfn[v]);
+ }
+ if(dfn[u]==low[u]){
+ ++sc;
+ while(s[tp]!=u)scc[s[tp]]=sc,sz[sc]++,--tp;
+ scc[s[tp]]=sc,sz[sc]++,--tp;
+ }
}
```
-（转自维基：<https://en.wikipedia.org/wiki/Tarjan%27s_strongly_connected_components_algorithm>）
-
-时间复杂度 $O(n + m)$
+时间复杂度 $O(n + m)$ 。
## Kosaraju 算法
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