因此关键思路是，如果以某个位置 $i$ 为中心，我们有一个长度为 $l$ 的回文串，那么我们有以 $i$ 为中心的长度为 $l - 2$，$l - 4$，等等的回文串。所以 $d_1[i]$ 和 $d_2[i]$ 两个数组已经足够表示字符串中所有子回文串的信息。
-一个令人惊讶的事实是，存在一个复杂度为线性并且足够简单的算法计算上述两个“回文性质数组” $d_1[]$ 和 $d_2[]$。在这篇文章中我们将详细的描述该算法。
+一个令人惊讶的事实是，存在一个复杂度为线性并且足够简单的算法计算上述两个 “回文性质数组” $d_1[]$ 和 $d_2[]$。在这篇文章中我们将详细的描述该算法。
## 解法
## 朴素算法
-为了避免在之后的叙述中出现歧义，这里我们指出什么是“朴素算法”。
+为了避免在之后的叙述中出现歧义，这里我们指出什么是 “朴素算法”。
该算法通过下述方式工作：对每个中心位置 $i$，在比较一对对应字符后，只要可能，该算法便尝试将答案加 $1$。
该朴素算法的实现如下：
```c++
-vector<int> d1(n), d2(n);
+vector<int> d1(n), d2(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
d1[i] = 1;
while (0 <= i - d1[i] && i + d1[i] < n && s[i - d1[i]] == s[i + d1[i]]) {
}
d2[i] = 0;
- while (0 <= i - d2[i] - 1 && i + d2[i] < n && s[i - d2[i] - 1] == s[i + d2[i]]) {
+ while (0 <= i - d2[i] - 1 && i + d2[i] < n &&
+ s[i - d2[i] - 1] == s[i + d2[i]]) {
d2[i]++;
}
}
因此我们将连续的增加 $d_1[i]$，同时在每一步中检查当前的子串 $[i - d_1[i] \dots i + d_1[i]]$ 是否为一个回文串。如果我们找到了第一处对应字符不同，又或者碰到了 $s$ 的边界，则算法停止。在两种情况下我们均已计算完 $d_1[i]$。此后，仍需记得更新 $(l, r)$。
-- 现在考虑 $i \le r$ 的情况。我们将尝试从已计算过的 $d_1[]$ 的值中获取一些信息。首先在子回文串 $(l, r)$ 中反转位置 $i$，即我们得到 $j = l + (r - i)$。现在来考察值 $d_1[j]$。因为位置 $j$ 同位置 $i$ 对称，我们**几乎总是**可以置 $d_1[i] = d_1[j]$。该想法的图示如下（可认为以 $j$ 为中心的回文串被“拷贝”至以 $i$ 为中心的位置上）：
+- 现在考虑 $i \le r$ 的情况。我们将尝试从已计算过的 $d_1[]$ 的值中获取一些信息。首先在子回文串 $(l, r)$ 中反转位置 $i$，即我们得到 $j = l + (r - i)$。现在来考察值 $d_1[j]$。因为位置 $j$ 同位置 $i$ 对称，我们**几乎总是**可以置 $d_1[i] = d_1[j]$。该想法的图示如下（可认为以 $j$ 为中心的回文串被 “拷贝” 至以 $i$ 为中心的位置上）：
$$
\ldots\
}^\text{palindrome}\
\ldots
$$
-
- 然而有一个**棘手的情况**需要被正确处理：当“内部”的回文串到达“外部”回文串的边界时，即 $j - d_1[j] + 1 \le l$（或者等价的说，$i + d_1[j] - 1 \ge r$）。因为在“外部”回文串范围以外的对称性没有保证，因此直接置 $d_1[i] = d_1[j]$ 将是不正确的：我们没有足够的信息来断言在位置 $i$ 的回文串具有同样的长度。
- 实际上，为了正确处理这种情况，我们应该“截断”回文串的长度，即置 $d_1[i] = r - i$。之后我们将运行朴素算法以尝试尽可能增加 $d_1[i]$ 的值。
+ 然而有一个**棘手的情况**需要被正确处理：当 “内部” 的回文串到达 “外部” 回文串的边界时，即 $j - d_1[j] + 1 \le l$（或者等价的说，$i + d_1[j] - 1 \ge r$）。因为在 “外部” 回文串范围以外的对称性没有保证，因此直接置 $d_1[i] = d_1[j]$ 将是不正确的：我们没有足够的信息来断言在位置 $i$ 的回文串具有同样的长度。
- 该种情况的图示如下（以 $j$ 为中心的回文串已经被截断以落在“外部”回文串内）：
+ 实际上，为了正确处理这种情况，我们应该 “截断” 回文串的长度，即置 $d_1[i] = r - i$。之后我们将运行朴素算法以尝试尽可能增加 $d_1[i]$ 的值。
+
+ 该种情况的图示如下（以 $j$ 为中心的回文串已经被截断以落在 “外部” 回文串内）：
$$
\ldots\
}_\text{try moving here}
$$
- 该图示显示出，尽管以 $j$ 为中心的回文串可能更长，以致于超出“外部”回文串，但在位置 $i$，我们只能利用其完全落在“外部”回文串内的部分。然而位置 $i$ 的答案可能比这个值更大，因此接下来我们将运行朴素算法来尝试将其扩展至“外部”回文串之外，也即标识为 "try moving here" 的区域。
+ 该图示显示出，尽管以 $j$ 为中心的回文串可能更长，以致于超出 “外部” 回文串，但在位置 $i$，我们只能利用其完全落在 “外部” 回文串内的部分。然而位置 $i$ 的答案可能比这个值更大，因此接下来我们将运行朴素算法来尝试将其扩展至 “外部” 回文串之外，也即标识为 "try moving here" 的区域。
最后，仍有必要提醒的是，我们应当记得在计算完每个 $d_1[i]$ 后更新值 $(l, r)$。
d2[i] = k--;
if (i + k > r) {
l = i - k - 1;
- r = i + k ;
+ r = i + k;
}
}
```
给定一个长度为 $n$ 的字符串 $s$，我们在其 $n + 1$ 个空中插入分隔符 $\#$，从而构造一个长度为 $2n + 1$ 的字符串 $s'$。举例来说，对于字符串 $s = \mathtt{abababc}$，其对应的 $s' = \mathtt{\#a\#b\#a\#b\#a\#b\#c\#}$。
-对于字母间的 $\#$，其实际意义为 $s$ 中对应的“空”。而两端的 $\#$ 则是为了实现的方便。
+对于字母间的 $\#$，其实际意义为 $s$ 中对应的 “空”。而两端的 $\#$ 则是为了实现的方便。
注意到，在对 $s'$ 计算 $d_1[]$ 后，对于一个位置 $i$，$d_1[i]$ 所描述的最长的子回文串必定以 $\#$ 结尾（若以字母结尾，由于字母两侧必定各有一个 $\#$，因此可向外扩展一个得到一个更长的）。因此，对于 $s$ 中一个以字母为中心的极大子回文串，设其长度为 $m + 1$，则其在 $s'$ 中对应一个以相应字母为中心，长度为 $2m + 3$ 的极大子回文串；而对于 $s$ 中一个以空为中心的极大子回文串，设其长度为 $m$，则其在 $s'$ 中对应一个以相应表示空的 $\#$ 为中心，长度为 $2m + 1$ 的极大子回文串（上述两种情况下的 $m$ 均为偶数，但该性质成立与否并不影响结论）。综合以上观察及少许计算后易得，在 $s'$ 中，$d_1[i]$ 表示在 $s$ 中以对应位置为中心的极大子回文串的**总长度加一**。
- [UVA #11475 "Extend to Palindrome"](https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=2470)
- [P4555 \[国家集训队\] 最长双回文串](https://www.luogu.org/problemnew/show/P4555)
-***
+* * *
**本页面主要译自博文 [Нахождение всех подпалиндромов](http://e-maxx.ru/algo/palindromes_count) 与其英文翻译版 [Finding all sub-palindromes in $O(N)$](https://cp-algorithms.com/string/manacher.html) 。其中俄文版版权协议为 Public Domain + Leave a Link；英文版版权协议为 CC-BY-SA 4.0。**
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