feat: add fractional programming

diff --git a/docs/basic/binary.md b/docs/basic/binary.md
index 620d1b7..905a862 100644 (file)
--- a/docs/basic/binary.md
+++ b/docs/basic/binary.md
@@ -60,4 +60,36 @@ else
 那么由于单调性，一定是二者中较大（小）的那个离最值近一些，较远的那个点对应的区间不可能包含最值，所以可以舍弃。
 
 - 如果在两侧：
-由于最值在二者中间，我们舍弃两侧的一个区间后，也不会影响最值，所以可以舍弃。
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+由于最值在二者中间，我们舍弃两侧的一个区间后，也不会影响最值，所以可以舍弃。
+
+## 分数规划
+
+分数规划是这样一类问题，每个物品有两个代价 $c_i$，$d_i$，要求通过某种方式选出若干个，使得 $\frac{\sum{c_i}}{\sum{d_i}}$ 最大或最小。
+
+经典的例子是 最优比率环、最优比率生成树 等等。
+
+### 二分法
+
+记 $L$ 为上式的值，对这个式子做一些变换：
+
+$$L = \frac{\sum{c_i}}{\sum{d_i}}$$
+
+把分母乘过去，把一侧化为 $0$：
+
+$${\sum{d_i}} \times L - {\sum{c_i}} = 0$$
+
+即：
+
+$${\sum_{i=1}^N{d_i}} \times L - {\sum_{i=1}^N{c_i}} = 0$$
+
+$$\sum_{i=1}^N{d_i \times L - c_i} = 0$$
+
+比如说我们要求最小的 $L$，不难发现，如果 $L'$ 比 $L$ 要小，上式左端的值会更大一些。
+
+所以要求得最小的 $L$，我们要求的就变成了让上式左端最接近 $0$ 的 $L$。
+
+不难发现左端的式子是随 $L$ 变化而单调变化的，所以可以通过二分法来解决。
+
+### Dinkelbach 算法
+
+Dinkelbach 算法是每次用上一轮的答案当做新的 $L$ 来输入，不断地迭代，直至答案收敛。
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