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## 问题引入
给定一个正整数 $N \in \mathbb{N}_{+}$ ，试快速找到它的一个因数。
当 $N\ge10^{18}$ 时，这个算法的运行时间我们是无法接受的，希望有更优秀的算法。一种想法是通过随机的方法，猜测一个数是不是 $N$ 的因数，如果运气好可以在 $O(1)$ 的时间复杂度下求解答案，但是对于 $N\ge10^{18}$ 的数据，成功猜测的概率是 $\frac{1}{10^{18}}$ , 期望猜测的次数是 $10^{18}$ 。如果是在 $[1,\sqrt N]$ 里进行猜测，成功率会大一些。我们希望有方法来优化猜测。
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## 朴素算法与 Pollard Rho 算法引入
最简单的算法即为从 $[1,\sqrt N]$ 进行遍历。
-``` C++
+```C++
list<int> breakdown(int N) {
- list<int> result;
- for (int i = 2; i * i <= N; i++) {
- if (N % i == 0) { // 如果 i 能够整除 N，说明 i 为 N 的一个质因子。
- while (N % i == 0) N /= i;
- result.push_back(i);
- }
- }
- if (N != 1) { // 说明再经过操作之后 N 留下了一个素数
- result.push_back(N)
+ list<int> result;
+ for (int i = 2; i * i <= N; i++) {
+ if (N % i == 0) { // 如果 i 能够整除 N，说明 i 为 N 的一个质因子。
+ while (N % i == 0) N /= i;
+ result.push_back(i);
}
- return result;
+ }
+ if (N != 1) { // 说明再经过操作之后 N 留下了一个素数
+ result.push_back(N)
+ }
+ return result;
}
```
我们能够证明 `result` 中的所有元素均为 `N` 的素因数。
???+note "证明 `result` 中均为 $N$ 的素因数"
- 首先证明元素均为 $N$ 的素因数：因为当且仅当 `N % i == 0` 满足时，`result` 发生变化：储存 $i$，说明此时 $i$ 能整除 $\frac{N}{A}$，说明了存在一个数 $p$ 使得 $pi=\frac{N}{A}$，即 $piA = N$（其中，$A$ 为 $N$ 自身发生变化后遇到 $i$ 时所除的数。我们注意到 `result` 若在 push $i$ 之前就已经有数了，为 $R_1,\,R_2,\,\ldots,\,R_n$，那么有 `N`$=\frac{N}{R_1^{q_1}\cdot R_2^{q_2}\cdot \cdots \cdot R_n^{q_n}}$，被除的乘积即为 $A$）。所以 $i$ 为 $N$ 的因子。
+ 首先证明元素均为 $N$ 的素因数：因为当且仅当 `N % i == 0` 满足时， `result` 发生变化：储存 $i$ ，说明此时 $i$ 能整除 $\frac{N}{A}$ ，说明了存在一个数 $p$ 使得 $pi=\frac{N}{A}$ ，即 $piA = N$ （其中， $A$ 为 $N$ 自身发生变化后遇到 $i$ 时所除的数。我们注意到 `result` 若在 push $i$ 之前就已经有数了，为 $R_1,\,R_2,\,\ldots,\,R_n$ ，那么有 `N` $=\frac{N}{R_1^{q_1}\cdot R_2^{q_2}\cdot \cdots \cdot R_n^{q_n}}$ ，被除的乘积即为 $A$ ）。所以 $i$ 为 $N$ 的因子。
其次证明 `result` 中均为素数。我们假设存在一个在 `result` 中的合数 $K$，并根据整数基本定理，分解为一个素数序列 $K = K_1^{e_1}\cdot K_2^{e_2}\cdot\cdots\cdot K_3^{e_3}$，而因为 $K_1 < K$ ，所以它一定会在 $K$ 之前被遍历到，并令 `while(N % k1 == 0) N /= k1`，即让 `N` 没有了素因子 $K_1$，故遍历到 $K$ 时，`N` 和 $K$ 已经没有了整除关系了。
-值得指出的是，如果开始已经打了一个素数表的话，时间复杂度将从 $O(\sqrt N)$ 下降到 $O(\sqrt{\frac N {\ln N}})$。去[筛法](./sieve.md)处查阅更多打表的信息。
+值得指出的是，如果开始已经打了一个素数表的话，时间复杂度将从 $O(\sqrt N)$ 下降到 $O(\sqrt{\frac N {\ln N}})$ 。去 [筛法](./sieve.md) 处查阅更多打表的信息。
-而下面复杂度复杂度更低的 Pollard-Rho 算法是一种用于快速分解非平凡因数的算法（**注意**！非平凡因子不是素因子）。而在此之前需要先引入生日悖论。
+而下面复杂度复杂度更低的 Pollard-Rho 算法是一种用于快速分解非平凡因数的算法（ **注意** ！非平凡因子不是素因子）。而在此之前需要先引入生日悖论。
## 生日悖论
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