## 高维空间上的操作
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+???+note " 例题[luogu P4148 简单题](https://www.luogu.org/problem/P4148)"
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+ 在一个初始值全为 $0$ 的 $n\times n$ 的二维矩阵上，进行 $q$ 次操作，每次操作为以下两种之一：
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+ 1. `1 x y A` ：将坐标 $(x,y)$ 上的数加上 $A$ 。
+ 2. `2 x1 y1 x2 y2` ： 输出以 $(x1,y1)$ 为左下角， $(x2,y2)$ 为右上角的矩形内（包括矩形边界）的数字和。
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+ 强制在线。内存限制 `20M` 。保证答案及所有过程量在 `int` 范围内。
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+ $1\le n\le 500000 , 1\le q\le 200000$
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+20M 的空间卡掉了所有树套树，强制在线卡掉了 CDQ 分治，只能使用 k-D Tree 。
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+构建 2-D Tree ，支持两种操作：添加一个 $2$ 维点；查询矩形区域内的所有点的权值和。可以使用 **带重构** 的 k-D Tree 实现。
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+在查询矩形区域内的所有点的权值和时，仍然需要记录子树内每一维度上的坐标的最大值和最小值。如果当前子树对应的矩形与所求矩形没有交点，则不继续搜索其子树；如果当前子树对应的矩形完全包含在所求矩形内，返回当前子树内所有点的权值和；否则，判断当前点是否在所求矩形内，更新答案并递归在左右子树中查找答案。
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+已经证明，如果在 $2-D$ 树上进行矩阵查询操作，已经被完全覆盖的子树不会继续查询，则单次查询时间复杂度是期望 $O(\log_2 n)$ ，最坏 $O(\sqrt n)$ 的。将结论扩展到 $k$ 维的情况，则最坏时间复杂度是 $O(n^{1-\frac 1 k})$ 的。
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+??? "参考代码"
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+ ```cpp
+ #include<cstdio>
+ #include<cstring>
+ #include<algorithm>
+ using namespace std;
+ const int maxn=200010;
+ int n,op,xl,xr,yl,yr,lstans;
+ struct node{int x,y,v;}s[maxn];
+ bool cmp1(int a,int b){return s[a].x<s[b].x;}
+ bool cmp2(int a,int b){return s[a].y<s[b].y;}
+ double a=0.725;
+ int rt,cur,d[maxn],lc[maxn],rc[maxn],L[maxn],R[maxn],D[maxn],U[maxn],siz[maxn],sum[maxn];
+ int g[maxn],t;
+ void print(int x){if(!x)return;print(lc[x]);g[++t]=x;print(rc[x]);}
+ void maintain(int x)
+ {
+ siz[x]=siz[lc[x]]+siz[rc[x]]+1;
+ sum[x]=sum[lc[x]]+sum[rc[x]]+s[x].v;
+ L[x]=R[x]=s[x].x;D[x]=U[x]=s[x].y;
+ if(lc[x])L[x]=min(L[x],L[lc[x]]),R[x]=max(R[x],R[lc[x]]),D[x]=min(D[x],D[lc[x]]),U[x]=max(U[x],U[lc[x]]);
+ if(rc[x])L[x]=min(L[x],L[rc[x]]),R[x]=max(R[x],R[rc[x]]),D[x]=min(D[x],D[rc[x]]),U[x]=max(U[x],U[rc[x]]);
+ }
+ int build(int l,int r)
+ {
+ if(l>r)return 0;
+ int mid=(l+r)>>1;
+ double av1=0,av2=0,va1=0,va2=0;
+ for(int i=l;i<=r;i++)av1+=s[g[i]].x,av2+=s[g[i]].y;
+ av1/=(r-l+1);av2/=(r-l+1);
+ for(int i=l;i<=r;i++)va1+=(av1-s[g[i]].x)*(av1-s[g[i]].x),va2+=(av2-s[g[i]].y)*(av2-s[g[i]].y);
+ if(va1>va2)nth_element(g+l,g+mid,g+r+1,cmp1),d[g[mid]]=1;
+ else nth_element(g+l,g+mid,g+r+1,cmp2),d[g[mid]]=2;
+ lc[g[mid]]=build(l,mid-1);rc[g[mid]]=build(mid+1,r);
+ maintain(g[mid]);return g[mid];
+ }
+ void rebuild(int&x){t=0;print(x);x=build(1,t);}
+ bool bad(int x){return a*siz[x]<=(double)max(siz[lc[x]],siz[rc[x]]);}
+ void insert(int&x,int v)
+ {
+ if(!x){x=v;maintain(x);return;}
+ if(d[x]==1){if(s[v].x<=s[x].x)insert(lc[x],v);else insert(rc[x],v);}
+ else{if(s[v].y<=s[x].y)insert(lc[x],v);else insert(rc[x],v);}
+ maintain(x);
+ if(bad(x))rebuild(x);
+ }
+ int query(int x)
+ {
+ if(!x||xr<L[x]||xl>R[x]||yr<D[x]||yl>U[x])return 0;
+ if(xl<=L[x]&&R[x]<=xr&&yl<=D[x]&&U[x]<=yr)return sum[x];
+ int ret=0;
+ if(xl<=s[x].x&&s[x].x<=xr&&yl<=s[x].y&&s[x].y<=yr)ret+=s[x].v;
+ return query(lc[x])+query(rc[x])+ret;
+ }
+ int main()
+ {
+ scanf("%d",&n);
+ while(~scanf("%d",&op))
+ {
+ if(op==1)
+ {
+ cur++,scanf("%d%d%d",&s[cur].x,&s[cur].y,&s[cur].v);
+ s[cur].x^=lstans;s[cur].y^=lstans;s[cur].v^=lstans;
+ insert(rt,cur);
+ }
+ if(op==2)
+ {
+ scanf("%d%d%d%d",&xl,&yl,&xr,&yr);
+ xl^=lstans;yl^=lstans;xr^=lstans;yr^=lstans;
+ printf("%d\n",lstans=query(rt));
+ }
+ if(op==3)return 0;
+ }
+ }
+ ```
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## 习题
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+[luogu P2479 \[SDOI2010\]捉迷藏](https://www.luogu.org/problem/P2479)
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+[luogu P4169 \[Violet\]天使玩偶/SJY摆棋子](https://www.luogu.org/problem/P4169)
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