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+## 概述
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+给定 $n$ 个二维平面上的点，求一组欧几里得距离最近的点对。
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+下面我们介绍一种时间复杂度为 $O(n\log n)$ 的分治算法来解决这个问题。该算法在 1975 年由 [Franco P. Preparata](https://en.wikipedia.org/wiki/Franco_P._Preparata) 提出，Preparata 和 [Michael Ian Shamos](https://en.wikipedia.org/wiki/Michael_Ian_Shamos) 证明了该算法在决策树模型下是最优的。
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+## 算法
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+与常规的分治算法一样，我们将这个有 $n$ 个点的集合拆分成两个大小相同的集合 $S_1, S_2$，并不断递归下去。但是我们遇到了一个难题：如何合并？即如何求出一个点在 $S_1$ 中，另一个点在 $S_2$ 中的最近点对？这里我们先假设合并操作的时间复杂度为 $O(n)$，可知算法总复杂度为 $T(n) = 2T(\frac{n}{2}) + O(n) = O(n\log n)$。
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+我们先将所有点按照 $x_i$ 为第一关键字、$y_i$ 为第二关键字排序，并以点 $p_m (m = \lfloor \frac{n}{2} \rfloor)$ 为分界点，拆分点集为 $A_1,A_2$：
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+$$A_1 = \{p_i \ \big | \ i = 0 \ldots m \}\\
+A_2 = \{p_i \ \big | \ i = m + 1 \ldots n-1 \}$$
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+并递归下去，求出两点集各自内部的最近点对，设距离为 $h_1,h_2$，取较小值设为 $h$。
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+现在该合并了！我们试图找到这样的一组点对，其中一个属于 $A_1$，另一个属于 $A_2$，且二者距离小于 $h$。因此我们将所有横坐标与 $x_m$ 的差小于 $h$ 的点放入集合 $B$：
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+$$B = \{ p_i \ \big | \ \lvert x_i - x_m \rvert < h \}$$
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+对于 $B$ 中的每个点 $p_i$，我们当前目标是找到一个同样在 $B$ 中、且到其距离小于 $h$ 的点。为了避免两个点之间互相考虑，我们只考虑那些纵坐标小于 $y_i$ 的点。显然对于一个合法的点 $p_j$，$y_i - y_j$ 必须小于 $h$。于是我们获得了一个集合 $C(p_i)$：
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+$$C(p_i) = { p_j\ \big |\ p_j \in B,\ y_i - h < y_j \le y_i }$$
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+如果我们将 $B$ 中的点按照 $y_i$ 排序，$C(p_i)$ 将很容易得到，即紧邻 $p_i$ 的连续几个点。
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+由此我们得到了合并的步骤：
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+1. 构建集合 $B$。
+2. 将 $B$ 中的点按照 $y_i$ 排序。通常做法是 $O(n\log n)$，但是我们可以改变策略优化到 $O(n)$（下文讲解）。
+3. 对于每个 $p_i \in B$ 考虑 $p_j \in C(p_i)$，对于每对 $(p_i,p_j)$ 计算距离并更新答案（当前所处集合的最近点对）。
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+注意到我们上文提到了两次排序，因为点坐标全程不变，第一次排序可以只在分治开始前进行一次。并且每次递归返回当前点集按 $y_i$ 排序的结果，上层直接使用下层的两个点集归并即可。
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+似乎这个算法仍然不优，$|C(p_i)|$ 将处于 $O(n)$ 数量级，导致总复杂度不对。其实不然，其最大大小为 $7$，我们给出它的证明：
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+## 复杂度证明
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+我们已经了解到，$C(p_i)$ 中的所有点的纵坐标都在 $(y_i-h,y_i]$ 范围内；且 $C(p_i)$ 中的所有点，和 $p_i$ 本身，横坐标都在 $(x_m-h,x_m+h)$ 范围内。这构成了一个 $2h \times h$ 的矩形。
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+我们再将这个矩形拆分为两个 $h \times h$ 的正方形，不考虑 $p_i$，其中一个正方形中的点为 $C(p_i) \cap A_1$，另一个为 $C(p_i) \cap A_2$，且两个正方形内的任意两点间距离大于 $h$。（因为它们来自同一下层递归）
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+我们将一个 $h \times h$ 的正方形拆分为四个 $\frac{h}{2} \times \frac{h}{2}$ 的小正方形。可以发现，每个小正方形中最多有 $1$ 个点：因为该小正方形中任意两点最大距离是对角线的长度，即$\frac{h}{\sqrt 2}$，该数小于 $h$。
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+由此，每个正方形中最多有 $4$ 个点，矩形中最多有 $8$ 个点，去掉 $p_i$ 本身，$\max(C(p_i))=7$。
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+## 实现
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+我们使用一个结构体来存储点，并定义用于排序的函数：
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+```cpp
+struct pt {
+ int x, y, id;
+};
+
+struct cmp_x {
+ bool operator()(const pt & a, const pt & b) const {
+ return a.x < b.x || (a.x == b.x && a.y < b.y);
+ }
+};
+
+struct cmp_y {
+ bool operator()(const pt & a, const pt & b) const {
+ return a.y < b.y;
+ }
+};
+
+int n;
+vector<pt> a;
+```
+
+为了方便实现递归，我们引入 `upd_ans()` 辅助函数来计算两点间距离并尝试更新答案：
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+```cpp
+double mindist;
+int ansa, ansb;
+
+inline void upd_ans (const pt & a, const pt & b) {
+ double dist = sqrt ((a.x-b.x)*(a.x-b.x) + (a.y-b.y)*(a.y-b.y) + .0);
+ if (dist < mindist)
+ mindist = dist, ansa = a.id, ansb = b.id;
+}
+```
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+下面是递归本身：假设在调用前 `a[]` 已按 $x_i$ 排序。如果 $r-l$ 过小，使用暴力算法计算 $h$，终止递归。
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+我们使用 `std::merge()` 来执行归并排序，并创建辅助缓冲区 `t[]`，$B$ 存储在其中。
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+```cpp
+void rec (int l, int r) {
+ if (r - l <= 3) {
+ for (int i=l; i<=r; ++i)
+ for (int j=i+1; j<=r; ++j)
+ upd_ans (a[i], a[j]);
+ sort (a+l, a+r+1, &cmp_y);
+ return;
+ }
+
+ int m = (l + r) >> 1;
+ int midx = a[m].x;
+ rec (l, m), rec (m+1, r);
+ static pt t[MAXN];
+ merge (a+l, a+m+1, a+m+1, a+r+1, t, &cmp_y);
+ copy (t, t+r-l+1, a+l);
+
+ int tsz = 0;
+ for (int i=l; i<=r; ++i)
+ if (abs (a[i].x - midx) < mindist) {
+ for (int j=tsz-1; j>=0 && a[i].y - t[j].y < mindist; --j)
+ upd_ans (a[i], t[j]);
+ t[tsz++] = a[i];
+ }
+}
+```
+
+在主函数中，这样开始递归即可：
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+```cpp
+sort (a, a+n, &cmp_x);
+mindist = 1E20;
+rec (0, n-1);
+```
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+## 推广：平面最小周长三角形
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+上述算法有趣地推广到这个问题：在给定的一组点中，选择三个点，使得它们两两的距离之和最小。
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+算法大体保持不变，每次尝试找到一个比当前答案周长 $d$ 更小的三角形，将所有横坐标与 $x_m$ 的差小于 $\frac{d}{2}$ 的点放入集合 $B$，尝试更新答案。（周长为 $d$ 的三角形的最长边小于 $\frac{d}{2}$）
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+## 习题
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+* [UVA 10245 "The Closest Pair Problem" [难度：低]](https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=onlinejudge&page=show_problem&problem=1186)
+* [SPOJ #8725 CLOPPAIR "Closest Point Pair" [难度：低]](https://www.spoj.com/problems/CLOPPAIR/)
+* [CODEFORCES Team Olympiad Saratov - 2011 "Minimum amount" [难度：中]](http://codeforces.com/contest/120/problem/J)
+* [Google CodeJam 2009 Final " Min Perimeter "[难度：中]](https://code.google.com/codejam/contest/311101/dashboard#s=a&a=1)
+* [SPOJ #7029 CLOSEST "Closest Triple" [难度：中]](https://www.spoj.com/problems/CLOSEST/)
+
+***
+
+**本页面主要译自博文[Нахождение пары ближайших точек](http://e-maxx.ru/algo/nearest_points)与其英文翻译版[Finding the nearest pair of points](https://github.com/e-maxx-eng/e-maxx-eng/blob/master/src/geometry/nearest_points.md)。其中俄文版版权协议为 Public Domain + Leave a Link；英文版版权协议为 CC-BY-SA 4.0。**
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