## dist 的定义和性质
-对于一棵二叉树,我们定义 **外节点** 为左儿子或右儿子为空的节点,定义一个外节点的 $dist$ 为 $1$,一个不是外节点的节点 $dist$ 为其到子树中最近的外节点的距离加一。空节点的 $dist$ 为 $0$。
+对于一棵二叉树,我们定义 **外节点** 为左儿子或右儿子为空的节点,定义一个外节点的 $\mathrm{dist}$ 为 $1$,一个不是外节点的节点 $\mathrm{dist}$ 为其到子树中最近的外节点的距离加一。空节点的 $\mathrm{dist}$ 为 $0$。
-> 注:很多其它教程中定义的 $dist$ 都是本文中的 $dist$ 减去 $1$,本文这样定义是因为代码写起来方便。
+> 注:很多其它教程中定义的 $\mathrm{dist}$ 都是本文中的 $\mathrm{dist}$ 减去 $1$,本文这样定义是因为代码写起来方便。
-一棵有 $n$ 个节点的二叉树,根的 $dist$ 不超过 $\left\lceil\log (n+1)\right\rceil$,因为一棵根的 $dist$ 为 $x$ 的二叉树至少有 $x-1$ 层是满二叉树,那么就至少有 $2^x-1$ 个节点。注意这个性质是所有二叉树都具有的,并不是左偏树所特有的。
+一棵有 $n$ 个节点的二叉树,根的 $\mathrm{dist}$ 不超过 $\left\lceil\log (n+1)\right\rceil$,因为一棵根的 $\mathrm{dist}$ 为 $x$ 的二叉树至少有 $x-1$ 层是满二叉树,那么就至少有 $2^x-1$ 个节点。注意这个性质是所有二叉树都具有的,并不是左偏树所特有的。
## 左偏树的定义和性质
-左偏树是一棵二叉树,它不仅具有堆的性质,并且是 “左偏” 的:每个节点左儿子的 $dist$ 都大于等于右儿子的 $dist$。
+左偏树是一棵二叉树,它不仅具有堆的性质,并且是「左偏」 的:每个节点左儿子的 $\mathrm{dist}$ 都大于等于右儿子的 $\mathrm{dist}$。
-因此,左偏树每个节点的 $dist$ 都等于其右儿子的 $dist$ 加一。
+因此,左偏树每个节点的 $\mathrm{dist}$ 都等于其右儿子的 $\mathrm{dist}$ 加一。
-需要注意的是,$dist$ 不是深度,**左偏树的深度没有保证**,一条向左的链也是左偏树。
+需要注意的是,$\mathrm{dist}$ 不是深度,**左偏树的深度没有保证**,一条向左的链也是左偏树。
-## 左偏树的核心操作:合并(merge)
+## 核心操作:合并(merge)
-合并两个堆时,由于要满足堆性质,先取值较小(为了方便,本文讨论小根堆)的那个根作为合并后堆的根节点,然后将这个根的左儿子作为合并后堆的左儿子,递归地合并其右儿子与另一个堆,作为合并后的堆的右儿子。为了满足左偏性质,合并后若左儿子的 $dist$ 小于右儿子的 $dist$,就交换两个儿子。
+合并两个堆时,由于要满足堆性质,先取值较小(为了方便,本文讨论小根堆)的那个根作为合并后堆的根节点,然后将这个根的左儿子作为合并后堆的左儿子,递归地合并其右儿子与另一个堆,作为合并后的堆的右儿子。为了满足左偏性质,合并后若左儿子的 $\mathrm{dist}$ 小于右儿子的 $\mathrm{dist}$,就交换两个儿子。
参考代码:
}
```
-由于左偏性质,每递归一层,其中一个堆根节点的 $dist$ 就会减小 $1$,而 “一棵有 $n$ 个节点的二叉树,根的 $dist$ 不超过 $\left\lceil\log (n+1)\right\rceil$”,所以合并两个大小分别为 $n$ 和 $m$ 的堆复杂度是 $\mathcal O(\log n+\log m)$。
+由于左偏性质,每递归一层,其中一个堆根节点的 $\mathrm{dist}$ 就会减小 $1$,而 “一棵有 $n$ 个节点的二叉树,根的 $\mathrm{dist}$ 不超过 $\left\lceil\log (n+1)\right\rceil$”,所以合并两个大小分别为 $n$ 和 $m$ 的堆复杂度是 $\mathcal O(\log n+\log m)$。
-左偏树还有一种无需交换左右儿子的写法:将 $dist$ 较大的儿子视作左儿子,$dist$ 较小的儿子视作右儿子:
+左偏树还有一种无需交换左右儿子的写法:将 $\mathrm{dist}$ 较大的儿子视作左儿子,$\mathrm{dist}$ 较小的儿子视作右儿子:
```cpp
int& rs(int x)
#### 做法
-先将左右儿子合并,然后自底向上更新 $dist$、不满足左偏性质时交换左右儿子,当 $dist$ 无需更新时结束递归:
+先将左右儿子合并,然后自底向上更新 $\mathrm{dist}$、不满足左偏性质时交换左右儿子,当 $\mathrm{dist}$ 无需更新时结束递归:
```cpp
int& rs(int x)
#### 复杂度证明
-我们令当前 `pushup` 的这个节点为 $x$,其父亲为 $y$,一个节点的 “初始 $dist$” 为它在 `pushup` 前的 $dist$。我们先 `pushup` 一下删除的节点,然后从其父亲开始起讨论复杂度。
+我们令当前 `pushup` 的这个节点为 $x$,其父亲为 $y$,一个节点的 “初始 $\mathrm{dist}$” 为它在 `pushup` 前的 $\mathrm{dist}$。我们先 `pushup` 一下删除的节点,然后从其父亲开始起讨论复杂度。
继续递归下去有两种情况:
-1. $x$ 是 $y$ 的右儿子,此时 $y$ 的初始 $dist$ 为 $x$ 的初始 $dist$ 加一。
-2. $x$ 是 $y$ 的左儿子,只有 $y$ 的左右儿子初始 $dist$ 相等时(此时左儿子 $dist$ 减一会导致左右儿子互换)才会继续递归下去,因此 $y$ 的初始 $dist$ 仍然是 $x$ 的初始 $dist$ 加一。
+1. $x$ 是 $y$ 的右儿子,此时 $y$ 的初始 $\mathrm{dist}$ 为 $x$ 的初始 $\mathrm{dist}$ 加一。
+2. $x$ 是 $y$ 的左儿子,只有 $y$ 的左右儿子初始 $\mathrm{dist}$ 相等时(此时左儿子 $\mathrm{dist}$ 减一会导致左右儿子互换)才会继续递归下去,因此 $y$ 的初始 $\mathrm{dist}$ 仍然是 $x$ 的初始 $\mathrm{dist}$ 加一。
-所以,我们得到,除了第一次 `pushup`(因为被删除节点的父亲的初始 $dist$ 不一定等于被删除节点左右儿子合并后的初始 $dist$ 加一),每递归一层 $x$ 的初始 $dist$ 就会加一,因此最多递归 $\mathcal O(\log n)$ 层。
+所以,我们得到,除了第一次 `pushup`(因为被删除节点的父亲的初始 $\mathrm{dist}$ 不一定等于被删除节点左右儿子合并后的初始 $\mathrm{dist}$ 加一),每递归一层 $x$ 的初始 $\mathrm{$\mathrm{dist}$}$ 就会加一,因此最多递归 $\mathcal O(\log n)$ 层。
### 整个堆加上 / 减去一个值、乘上一个正数
1. 合并前要检查是否已经在同一堆中。
-2. 左偏树的深度可能达到 $\mathcal O(n)$,因此找一个点所在的堆顶要用并查集维护,不能直接暴力跳父亲。(虽然很多题数据水,暴力跳父亲可以过..)(用并查集维护根时要保证原根指向新根,新根指向自己。)
+2. 左偏树的深度可能达到 $\mathcal O(n)$,因此找一个点所在的堆顶要用并查集维护,不能直接暴力跳父亲。(虽然很多题数据水,暴力跳父亲可以过..)(用并查集维护根时要保证原根指向新根,新根指向自己。)
??? " 罗马游戏参考代码 "
再考虑单点查询,若用普通的方法打标记,就得查询点到根路径上的标记之和,最坏情况下可以达到 $\mathcal O(n)$ 的复杂度。如果只有堆顶有标记,就可以快速地查询了,但如何做到呢?
-可以用类似启发式合并的方式,每次合并的时候把较小的那个堆标记暴力下传到每个节点,然后把较大的堆的标记作为合并后的堆的标记。由于合并后有另一个堆的标记,所以较小的堆下传标记时要下传其标记减去另一个堆的标记。由于每个节点每被合并一次所在堆的大小至少乘二,所以每个节点最多被下放 $\mathcal O(\log n)$ 次标记,暴力下放标记的总复杂度就是 $\mathcal O(n\log n)$。
+可以用类似启发式合并的方式,每次合并的时候把较小的那个堆标记暴力下传到每个节点,然后把较大的堆的标记作为合并后的堆的标记。由于合并后有另一个堆的标记,所以较小的堆下传标记时要下传其标记减去另一个堆的标记。由于每个节点每被合并一次所在堆的大小至少乘二,所以每个节点最多被下放 $\mathcal O(\log n)$ 次标记,暴力下放标记的总复杂度就是 $\mathcal O(n\log n)$。
再考虑单点加,先删除,再更新,最后插入即可。