Q_n^r = \frac{A_n^r}{r} = \frac{n!}{r \times (n-r)!}
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-## 组合数的性质
+## 组合数性质|二项式推论
-由于组合数在OI中十分重要,因此我们讨论一下组合数的若干性质。
+由于组合数在OI中十分重要,因此我们讨论一下组合数的若干性质,这其中许多也是二项式的推论。
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-C_n^m = C_{n}^{n-m}
+\binom{n}{m}=\binom{n}{n-m}\tag{1}
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-相当于将选出的集合对全集取补集,故数值不变。
+相当于将选出的集合对全集取补集,故数值不变。(对称性)
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-C_n^m = C_{n-1}^{m} + C_{n-1}^{m-1}
+\binom{n}{m}=\binom{n-1}{m}+\binom{n-1}{m-1}\tag{2}
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-杨辉三角的公式表达。我们可以利用这个式子,在 $O(n^2)$ 的复杂度下推导组合数。
+组合数的递推式(杨辉三角的公式表达)。我们可以利用这个式子,在 $O(n^2)$ 的复杂度下推导组合数。
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-C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + C_n^3 + \cdots + C_n^m = 2^n
+\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\cdots+\binom{n}{n}=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}=2^n\tag{3}
$$
+这是二项式定理的特殊情况。取$a=b=1$就得到上式。
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-\sum_{i=0}^m C_n^i C_m^{m-i} = C_{m+n}^m(n \geq m)
+\sum_{i=0}^m \binom{n}{i}\binom{m}{m-i} = \binom{m+n}{m}\ \ \ (n \geq m)\tag{4}
$$
+
+拆组合数的式子,在处理某些数据结构题时会用到。
+$$
+\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}^2=\binom{2n}{n}\tag{5}
+$$
+这是$(4)$的特殊情况,取$n=m$即可。
+$$
+\sum_{i=0}^ni\binom{n}{i}=n2^{n-1}\tag{6}
+$$
+带权和的一个式子。
+$$
+\sum_{i=0}^n\binom{n-i}{i}=F_{n+1}\tag{7}
+$$
+其中$F$是斐波那契数列。
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