-二分法
+## 二分法
-二分查找
+### 二分查找
二分搜索，也称折半搜索、二分查找，是用来在一个有序数组中查找某一元素的算法。
它每次考察数组当前部分的中间元素，如果中间元素刚好是要找的，就结束搜索过程；如果中间元素小于所查找的值，那么左侧的只会更小，不会有所查找的元素，只需要到右侧去找就好了；如果中间元素大于所查找的值，同理，右侧的只会更大而不会有所查找的元素，所以只需要到左侧去找。
-在二分搜索过程中，每次都把查询的区间减半，因此对于一个长度为 n 的数组，至多会进行 O(\\log n) 次查找。
-
- int binary_search(int start, int end, int key) {
- int ret = -1; // 未搜索到数据返回-1下标
- int mid;
- while (start <= end) {
- mid = start + ((end - start) >> 1); //直接平均可能会溢出，所以用这个算法
- if (arr[mid] < key)
- start = mid + 1;
- else if (arr[mid] > key)
- end = mid - 1;
- else { // 最后检测相等是因为多数搜索情况不是大于就是小于
- ret = mid;
- break;
- }
- }
- return ret; // 单一出口
+在二分搜索过程中，每次都把查询的区间减半，因此对于一个长度为 $n$ 的数组，至多会进行 $O(\log n)$ 次查找。
+
+```c++
+int binary_search(int start, int end, int key) {
+ int ret = -1; // 未搜索到数据返回-1下标
+ int mid;
+ while (start <= end) {
+ mid = start + ((end - start) >> 1); //直接平均可能会溢出，所以用这个算法
+ if (arr[mid] < key)
+ start = mid + 1;
+ else if (arr[mid] > key)
+ end = mid - 1;
+ else { // 最后检测相等是因为多数搜索情况不是大于就是小于
+ ret = mid;
+ break;
}
+ }
+ return ret; // 单一出口
+}
+```
??? note
- >> 1 比 / 2 速度快一些
+```
+`>> 1` 比 `/ 2` 速度快一些
+```
-注意，这里的有序是广义的有序，如果一个数组中的左侧或者右侧都满足某一种条件，而另一侧都不满足这种条件，也可以看作是一种有序（如果把满足条件看做 1，不满足看做 0，至少对于这个条件的这一维度是有序的）。换言之，二分搜索法可以用来查找满足某种条件的最大（最小）的值。
+注意，这里的有序是广义的有序，如果一个数组中的左侧或者右侧都满足某一种条件，而另一侧都不满足这种条件，也可以看作是一种有序（如果把满足条件看做 $1$，不满足看做 $0$，至少对于这个条件的这一维度是有序的）。换言之，二分搜索法可以用来查找满足某种条件的最大（最小）的值。
如果我们要求满足某种条件的最大值的最小可能情况（最大值最小化）呢？首先的想法是从小到大枚举这个作为答案的「最大值」，然后去判断是否合法。要是这个答案是单调的就好了，那样就可以使用二分搜索法来更快地找到答案。
要想使用二分搜索法来解这种「最大值最小化」的题目，需要满足以下三个条件：
-1. 答案在一个固定区间内；
-2. 可能查找一个符合条件的值不是很容易，但是要求能比较容易地判断某个值是否是符合条件的；
-3. 可行解对于区间满足一定的单调性。换言之，如果 x 是符合条件的，那么有 x + 1 或者 x - 1 也符合条件。（这样下来就满足了上面提到的单调性）
+1. 答案在一个固定区间内；
+2. 可能查找一个符合条件的值不是很容易，但是要求能比较容易地判断某个值是否是符合条件的；
+3. 可行解对于区间满足一定的单调性。换言之，如果 $x$ 是符合条件的，那么有 $x + 1$ 或者 $x - 1$ 也符合条件。（这样下来就满足了上面提到的单调性）
当然，最小值最大化是同理的。
二分法把一个寻找极值的问题转化成一个判定的问题（用二分搜索来找这个极值）。类比枚举法，我们当时是枚举答案的可能情况，现在由于单调性，我们不再需要一个个枚举，利用二分的思路，就可以用更优的方法解决「最大值最小」、「最小值最大」。这种解法也成为是「二分答案」，常见于解题报告中。
-STL 的二分查找
+### STL 的二分查找
-补充一个小知识点， 对于一个有序的 array 你可以使用 std::lower_bound() 来找到第一个大于等于你的值的数， std::upper_bound() 来找到第一个大于你的值的数。
+补充一个小知识点， 对于一个有序的 array 你可以使用 `std::lower_bound()` 来找到第一个大于等于你的值的数， `std::upper_bound()` 来找到第一个大于你的值的数。
请注意，必须是有序数组，否则答案是错误的。
-关于具体使用方法，请参见 STL 页面。
+关于具体使用方法，请参见 [STL 页面](/ds/stl/)。
-二分答案
+### 二分答案
二分是非常好的搜索算法，许多线性查找题目都能够转换为二分答案。
-来看一看一道例题 Luogu P1873 砍树，我们可以从 1 到 1000000000（10 亿）来枚举答案，但是这种朴素写法肯定拿不到满分，因为从 1 跑到 10 亿太耗时间。我们可以对答案进行 1 到 10 亿的二分，其中，每次都对其进行检查可行性（一般都是使用贪心法）。这就是二分答案。
+来看一看一道例题[Luogu P1873 砍树](https://www.luogu.org/problemnew/show/P1873)，我们可以从1到1000000000（10亿）来枚举答案，但是这种朴素写法肯定拿不到满分，因为从1跑到10亿太耗时间。我们可以对答案进行1到10亿的二分，其中，每次都对其进行检查可行性（一般都是使用贪心法）。**这就是二分答案。**
下面就是例题的参考答案。
- int a[1000005];
- int n,m;
- bool check(int k)//检查可行性，k为锯片高度
+```c++
+int a[1000005];
+int n,m;
+bool check(int k)//检查可行性，k为锯片高度
+{
+ long long sum=0;
+ for (int i=1;i<=n;i++)//检查每一棵树
+ if (a[i]>k)//如果树高于锯片高度
+ sum+=(long long)(a[i]-k);//累加树木长度
+ return sum>=m;//如果满足最少长度代表可行
+}
+int find(int x)
+{
+ int l=1,r=1000000001;//因为是左闭右开的，所以10亿要加1
+ while (l+1<r)//如果两点不相邻
{
- long long sum=0;
- for (int i=1;i<=n;i++)//检查每一棵树
- if (a[i]>k)//如果树高于锯片高度
- sum+=(long long)(a[i]-k);//累加树木长度
- return sum>=m;//如果满足最少长度代表可行
- }
- int find(int x)
- {
- int l=1,r=1000000001;//因为是左闭右开的，所以10亿要加1
- while (l+1<r)//如果两点不相邻
- {
- int mid=(l+r)/2;//取中间值
- if (check(mid))//如果可行
- l=mid;//升高锯片高度
- else
- r=mid;//否则降低叶片高度
- }
- return l;//返回左边值
- }
- int main()
- {
- cin>>n>>m;
- for (int i=1;i<=n;i++)
- cin>>a[i];
- cout<<find(m);
- return 0;
+ int mid=(l+r)/2;//取中间值
+ if (check(mid))//如果可行
+ l=mid;//升高锯片高度
+ else
+ r=mid;//否则降低叶片高度
}
+ return l;//返回左边值
+}
+int main()
+{
+ cin>>n>>m;
+ for (int i=1;i<=n;i++)
+ cin>>a[i];
+ cout<<find(m);
+ return 0;
+}
+```
看完了上面的代码，你肯定会有两个疑问：
-1. 为何搜索区间是左闭右开的？
+1. 为何搜索区间是左闭右开的？
因为搜到最后，会这样（以合法的最大值为例）：
+
+
+然后会
+
+
+
合法的最小值恰恰相反。
-1. 为何返回左边值？
+1. 为何返回左边值？
如上图
-三分法
+## 三分法
- mid = left + (right - left >> 1);
- midmid = mid + (right - mid >> 1); // 对右侧区间取半
- if (cal(mid) > cal(midmid))
- right = midmid;
- else
- left = mid;
+```c++
+mid = left + (right - left >> 1);
+midmid = mid + (right - mid >> 1); // 对右侧区间取半
+if (cal(mid) > cal(midmid))
+ right = midmid;
+else
+ left = mid;
+```
三分法可以用来查找凸函数的最大（小）值。
画一下图好理解一些（图待补）
-- 如果 mid 和 midmid 在最大（小）值的同一侧：
- 那么由于单调性，一定是二者中较大（小）的那个离最值近一些，较远的那个点对应的区间不可能包含最值，所以可以舍弃。
-- 如果在两侧：
- 由于最值在二者中间，我们舍弃两侧的一个区间后，也不会影响最值，所以可以舍弃。
+- 如果 `mid` 和 `midmid` 在最大（小）值的同一侧：
+ 那么由于单调性，一定是二者中较大（小）的那个离最值近一些，较远的那个点对应的区间不可能包含最值，所以可以舍弃。
+- 如果在两侧：
+ 由于最值在二者中间，我们舍弃两侧的一个区间后，也不会影响最值，所以可以舍弃。
-分数规划
+## 分数规划
-分数规划是这样一类问题，每个物品有两个代价 c_i，d_i，要求通过某种方式选出若干个，使得 \\frac{\\sum{c_i}}{\\sum{d_i}} 最大或最小。
+分数规划是这样一类问题，每个物品有两个代价 $c_i$，$d_i$，要求通过某种方式选出若干个，使得 $\frac{\sum{c_i}}{\sum{d_i}}$ 最大或最小。
经典的例子是 最优比率环、最优比率生成树 等等。
-二分法
-
-比如说我们要求的是最小的，记 L 为最优的答案，对这个式子做一些变换：
-
-L \\geq \\frac{\\sum{c_i}}{\\sum{d_i}}
-
-把分母乘过去，把右侧化为 0：
-
-{\\sum{d_i}} \\times L - {\\sum{c_i}} \\geq 0
+### 二分法
+比如说我们要求的是最小的，记 $L$ 为最优的答案，对这个式子做一些变换：
+$$
+L \geq \frac{\sum{c_i}}{\sum{d_i}}
+$$
+把分母乘过去，把右侧化为 $0$：
+$$
+{\sum{d_i}} \times L - {\sum{c_i}} \geq 0
+$$
即：
+$$
+{\sum_{i=1}^N{d_i}} \times L - {\sum_{i=1}^N{c_i}} \geq 0
+$$
-{\\sum_{i=1}^N{d_i}} \\times L - {\\sum_{i=1}^N{c_i}} \\geq 0
-
-\\sum\_{i=1}^N{d_i \\times L - c_i} \\geq 0
+$$
+\sum_{i=1}^N{d_i \times L - c_i} \geq 0
+$$
-不难发现，如果 L' 比 L 要小，上式左端的值会更大一些。
+不难发现，如果 $L'$ 比 $L$ 要小，上式左端的值会更大一些。
-所以要求得最小的 L，我们要求的就变成了让上式左端最接近 0 的 L。
+所以要求得最小的 $L$，我们要求的就变成了让上式左端最接近 $0$ 的 $L$。
-不难发现左端的式子是随 L 变化而单调变化的，所以可以通过二分法来解决。
+不难发现左端的式子是随 $L$ 变化而单调变化的，所以可以通过二分法来解决。
-Dinkelbach 算法
+### Dinkelbach 算法
-Dinkelbach 算法是每次用上一轮的答案当做新的 L 来输入，不断地迭代，直至答案收敛。
+Dinkelbach 算法是每次用上一轮的答案当做新的 $L$ 来输入，不断地迭代，直至答案收敛。
OSDN Git Service
