为了保证线性的空间复杂度，我们将只保存 $len$ 和 $link$ 的值和每个状态的转移列表，我们不会标记终止状态（但是我们稍后会展示在构造 SAM 后如何分配这些标记）。
-一开始 SAM 只包含一个状态 $t_0$ ，编号为 $0$ （其它状态的编号为 $1,\,2,\,\ldots$ ）。为了方便，对于状态 $t_0$ 我们指定 $len=0$ 、 $link=-1$ （ $-1$ 表示虚拟状态）。
+一开始 SAM 只包含一个状态 $t_0$ ，编号为 $0$ （其它状态的编号为 $1,2,\ldots$ ）。为了方便，对于状态 $t_0$ 我们指定 $len=0$ 、 $link=-1$ （ $-1$ 表示虚拟状态）。
现在，任务转化为实现给当前字符串添加一个字符 $c$ 的过程。算法流程如下：
如果我们还想知道哪些状态是 **终止状态** 而哪些不是，我们可以在为字符串 $s$ 构造完完整的 SAM 后找到所有的终止状态。为此，我们从对应整个字符串的状态（存储在变量 $last$ 中），遍历它的后缀链接，直到到达初始状态。我们将所有遍历到的节点都标记为终止节点。容易理解这样做我们会准确地标记字符串 $s$ 的所有后缀，这些状态都是终止状态。
-在下一部分，我们将检查算法每一步的细节，并证明它的 **正确性** 。
+在下一部分，我们将详细叙述算法每一步的细节，并证明它的 **正确性** 。
因为我们只为 $s$ 的每个字符创建一个或两个新状态，所以 SAM 只包含 **线性个** 状态。
### 对操作次数为线性的证明
-首先我们假设字符集大小为 **常数** 。如果字符集大小不是常数，SAM 的时间复杂度就不是线性的。从一个结点出发的转移存储在支持快速查询和插入的平衡树中。因此如果我们记 $k$ 为字符集的大小，则算法的渐进时间复杂度为 $O(n\log k)$ ，空间复杂度为 $O(n)$ 。然而如果字符集足够小，可以不写平衡树，以空间换时间将每个结点的转移存储为长度为 $k$ 的数组（用于快速查询）和链表（用于快速遍历所有可用关键字）。这样算法的时间复杂度为 $O(n)$ ，空间复杂度为 $O(nk)$ 。
+首先我们假设字符集大小为 **常数** 。如果字符集大小不是常数，SAM 的时间复杂度就不是线性的。从一个结点出发的转移存储在支持快速查询和插入的平衡树中。因此如果我们记 $\Sigma$ 为字符集，$\left|\Sigma\right|$ 为字符集大小，则算法的渐进时间复杂度为 $O(n\log\left|\Sigma\right|)$ ，空间复杂度为 $O(n)$ 。然而如果字符集足够小，可以不写平衡树，以空间换时间将每个结点的转移存储为长度为 $\left|\Sigma\right|$ 的数组（用于快速查询）和链表（用于快速遍历所有可用关键字）。这样算法的时间复杂度为 $O(n)$ ，空间复杂度为 $O(n\left|\Sigma\right|)$ 。
所以我们将认为字符集的大小为常数，即每次对一个字符搜索转移、添加转移、查找下一个转移。这些操作的时间复杂度都为 $O(1)$ 。
### 实现
-首先，我们实现一种存储一个转移的全部信息的数据结构。如果需要的话，你可以在这里加入一个终止标记，也可以是一些其它信息。我们将用一个 `map` 存储转移的列表，允许我们在总计 $O(n)$ 的空间复杂度和 $O(n\log k)$ 的时间复杂度内处理整个字符串。
+首先，我们实现一种存储一个转移的全部信息的数据结构。如果需要的话，你可以在这里加入一个终止标记，也可以是一些其它信息。我们将用一个 `map` 存储转移的列表，允许我们在总计 $O(n)$ 的空间复杂度和 $O(n\log\left|\Sigma\right|)$ 的时间复杂度内处理整个字符串。
```cpp
struct state {
int len, link;
- map<char, int> next;
+ std::map<char, int> next;
};
```
int sz, last;
```
-我们定义一个函数来初始化 SAM （创建一个只有一个状态的 SAM）。
+我们定义一个函数来初始化 SAM （创建一个只有初始状态的 SAM）。
```cpp
void sa_init() {
}
```
-最终我们给出主函数的实现：给当前行末增加一个字符，对应地重建自动机。
+最终我们给出主函数的实现：给当前行末增加一个字符，对应地在之前的基础上建造自动机。
```cpp
void sa_extend(char c) {
}
```
-正如之前提到的一样，如果你用内存换时间（空间复杂度为 $O(nk)$ ，其中 $k$ 为字符集大小），你可以在 $O(n)$ 的时间内构造字符集大小 $k$ 任意的 SAM。但是这样你需要为每一个状态储存一个大小为 $k$ 的数组（用于快速跳转到转移的字符），和另外一个所有转移的链表（用于快速在转移中迭代）。
+正如之前提到的一样，如果你用内存换时间（空间复杂度为 $O(n\left|\Sigma\right|)$ ，其中 $\left|\Sigma\right|$ 为字符集大小），你可以在 $O(n)$ 的时间内构造字符集大小任意的 SAM。但是这样你需要为每一个状态储存一个大小为 $\left|\Sigma\right|$ 的数组（用于快速跳转到转移的字符），和另外一个所有转移的链表（用于快速在转移中迭代）。
## 更多性质
### 状态数
-对于一个长度为 $n$ 的字符串 $s$ ，它的 SAM 中的状态数 **不会超过** $2n-1$ （假设 $n\ge2$ ）。
+对于一个长度为 $n$ 的字符串 $s$ ，它的 SAM 中的状态数 **不会超过** $2n-1$ （假设 $n\ge 2$ ）。
算法本身即可证明该结论。一开始，自动机含有一个状态，第一次和第二次迭代中只会创建一个节点，剩余的 $n-2$ 步中每步会创建至多 $2$ 个状态。
考虑到 SAM 为有向无环图，不同路径的条数可以通过动态规划计算。即令 $d[v]$ 为从状态 $v$ 开始的路径数量（包括长度为零的路径），则我们有如下递推方程：
$$
-d[v]=1+\sum_{w:(v,\,w,\,c)\in DAWG}d[w]
+d[v]=1+\sum_{w:(v,w,c)\in DAWG}d[w]
$$
即， $d[v]$ 可以表示为所有 $v$ 的转移的末端的和。
我们已经在上一题中介绍了如何计算 $d[v]$ 。 $ans[v]$ 的值可以通过以下递推式计算：
$$
-ans[v]=\sum_{w:(v,\,w,\,c)\in DAWG}d[w]+ans[w]
+ans[v]=\sum_{w:(v,w,c)\in DAWG}d[w]+ans[w]
$$
我们取每个邻接结点 $w$ 的答案，并加上 $d[w]$ （因为从状态 $v$ 出发的子串都增加了一个字符）。
### 字典序第 $k$ 大子串
-> 给定一个字符串 $S$ 。多组询问，每组询问给定一个数 $K_i$ ，查询所有子串中字典序第 $K_i$ 大的子串。
+> 给定一个字符串 $S$ 。多组询问，每组询问给定一个数 $K_i$ ，查询 $S$ 所有子串中字典序第 $K_i$ 大的子串。
-解å\86³è¿\99个é\97®é¢\98ç\9a\84æ\80\9dè·¯å\9fºäº\8eå\89\8d两个é\97®é¢\98ç\9a\84æ\80\9dè·¯ã\80\82å\97å\85¸åº\8f第 $k$ 大ç\9a\84å\90串对åº\94äº\8e SAM ä¸å\97å\85¸åº\8f第 $k$ 大ç\9a\84è·¯å¾\84ã\80\82因此在计算每个状态的路径数后，我们可以很容易地从 SAM 的根开始找到第 $k$ 大的路径。
+解å\86³è¿\99个é\97®é¢\98ç\9a\84æ\80\9dè·¯å\8f¯ä»¥ä»\8e解å\86³å\89\8d两个é\97®é¢\98ç\9a\84æ\80\9dè·¯å\8f\91å±\95è\80\8cæ\9d¥ã\80\82å\97å\85¸åº\8f第 $k$ 大ç\9a\84å\90串对åº\94äº\8e SAM ä¸å\97å\85¸åº\8f第 $k$ 大ç\9a\84è·¯å¾\84ï¼\8c因此在计算每个状态的路径数后，我们可以很容易地从 SAM 的根开始找到第 $k$ 大的路径。
-预处理的时间复杂度为 $O(length(S))$ ，单次查询的复杂度为 $O(length(ans)\cdot k)$ （其中 $ans$ 是查询的答案， $k$ 为字符集的大小）。
+预处理的时间复杂度为 $O(length(S))$ ，单次查询的复杂度为 $O(length(ans)\cdot\left|\Sigma\right|)$ （其中 $ans$ 是查询的答案， $\left|\Sigma\right|$ 为字符集的大小）。
### 最小循环移位
> 给定一个字符串 $S$ 。找出字典序最小的循环移位。
-我们为字符串 $S+S$ 构造 SAM 。则 SAM 本身将包含字符串 $S$ 的所有循环移位作为路径。
+容易发现字符串 $S+S$ 包含字符串 $S$ 的所有循环移位作为子串。
-所以问题简化为寻找最小的长度为 $length(S)$ 的路径，这可以通过平凡的方法做到：我们从初始状态开始，贪心地访问最小的字符即可。
+æ\89\80以é\97®é¢\98ç®\80å\8c\96为å\9c¨ $S+S$ 对åº\94ç\9a\84å\90\8eç¼\80è\87ªå\8a¨æ\9cºä¸\8a寻æ\89¾æ\9c\80å°\8fç\9a\84é\95¿åº¦ä¸º $length(S)$ ç\9a\84è·¯å¾\84ï¼\8cè¿\99å\8f¯ä»¥é\80\9aè¿\87å¹³å\87¡ç\9a\84æ\96¹æ³\95å\81\9aå\88°ï¼\9aæ\88\91们ä»\8eå\88\9då§\8bç\8a¶æ\80\81å¼\80å§\8bï¼\8cè´ªå¿\83å\9c°è®¿é\97®æ\9c\80å°\8fç\9a\84å\97符å\8d³å\8f¯ã\80\82
总的时间复杂度为 $O(length(S))$ 。
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