如果基于概率的公理化定义，那么一个随机变量——形式化地说——是一个从样本空间 $S$ 到实数集 $\mathbf{R}$ （或者 $\mathbf{R}$ 的某个子集）的映射 $X$ 。如果 $X(A)=\alpha$ ，你可以直观理解为：当随机实验 $E$ 取结果 $A$ 时，该随机变量取值 $\alpha$ 。
-由此可以看到，“随机变量 $X$ 取值 $\alpha$” （简记为 $X=\alpha$ ）也对应着一个能实现该命题的单位事件集合，因此它也是一个事件，于是也有与之对应的概率 $P(X=\alpha)$ 。
+由此可以看到，“随机变量 $X$ 取值 $\alpha$ ”（简记为 $X=\alpha$ ）也对应着一个能实现该命题的单位事件集合，因此它也是一个事件，于是也有与之对应的概率 $P(X=\alpha)$ 。
## 独立性
### 随机事件的独立性
-我们称两个事件 $A,B$ **独立** ，当 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ 。
+我们称两个事件 $A,B$ **独立** ，当 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ 。
-我们称若干个事件 $A_{1\ldots n}$ **互相独立** ，当对于其中任何一个子集，该子集中的事件同时发生的概率，等于其中每个事件发生概率的乘积。形式化地说：
+我们称若干个事件 $A_{1\ldots n}$ **互相独立** ，当对于其中任何一个子集，该子集中的事件同时发生的概率，等于其中每个事件发生概率的乘积。形式化地说：
$$
P(\bigcap\limits_{E\in T} E)=\prod_{E\in T} P(E), \forall T\subseteq \{A_1,A_2,\ldots,A_n\}
以下用 $I(X)$ 表示随机变量 $X$ 的取值范围。即，如果把 $X$ 看作一个映射，则 $I(X)$ 就是其值域。
-我们称两个随机变量 $X,Y$ **独立** ，当 $P((X=\alpha)\cap(Y=\beta))=P(X=\alpha)P(Y=\beta),\forall \alpha\in I(X),\beta\in I(Y)$ ，即 $(X,Y)$ 取任意一组值的概率，等于 $X$ 和 $Y$ 分别取对应值的概率乘积。
+我们称两个随机变量 $X,Y$ **独立** ，当 $P((X=\alpha)\cap(Y=\beta))=P(X=\alpha)P(Y=\beta),\forall \alpha\in I(X),\beta\in I(Y)$ ，即 $(X,Y)$ 取任意一组值的概率，等于 $X$ 和 $Y$ 分别取对应值的概率乘积。
-我们称若干个随机变量 $X_{1\ldots n}$ **互相独立** ，当 $(X_1,\ldots,X_n)$ 取任意一组值的概率，等于每个 $X_i$ 分别取对应值的概率乘积。形式化地说：
+我们称若干个随机变量 $X_{1\ldots n}$ **互相独立** ，当 $(X_1,\ldots,X_n)$ 取任意一组值的概率，等于每个 $X_i$ 分别取对应值的概率乘积。形式化地说：
$$
P(\bigcap\limits_{i=1}^n X_i=F_i)=\prod\limits_{i=1}^n P(X_i=F_i),\forall F_{1\ldots n} \text{ s.t. } F_i\in I(X_i)
### 定义
-如果一个随机变量的取值个数有限（比如一个表示骰子示数的随机变量），或可能的取值可以一一列举出来（比如取值范围为全体正整数）,则它称为 **离散型随机变量** 。
+如果一个随机变量的取值个数有限（比如一个表示骰子示数的随机变量），或可能的取值可以一一列举出来（比如取值范围为全体正整数），则它称为 **离散型随机变量** 。
形式化地说，一个随机变量被称为离散型随机变量，当它的值域大小 **有限** 或者为 **可列无穷大** 。
### 性质
-- **全期望公式** ： $E(Y)=\sum\limits_{\alpha \in I(X)} P(X=\alpha)E(Y|(X=\alpha))$ ，其中 $X,Y$ 是随机变量，$E(Y|A)$ 是在 $A$ 成立的条件下 $Y$ 的期望（即“条件期望”）。可由全概率公式证明。
+- **全期望公式** ： $E(Y)=\sum\limits_{\alpha \in I(X)} P(X=\alpha)E(Y|(X=\alpha))$ ，其中 $X,Y$ 是随机变量， $E(Y|A)$ 是在 $A$ 成立的条件下 $Y$ 的期望（即“条件期望”）。可由全概率公式证明。
- **期望的线性性** : 对于任意两个随机变量 $X,Y$ （ **不要求相互独立** ），有 $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ 。利用这个性质，可以将一个变量拆分成若干个互相独立的变量，分别求这些变量的期望值，最后相加得到所求变量的值。
- **乘积的期望** : 当两个随机变量 $X,Y$ 相互独立时，有 $E(XY)=E(X)E(Y)$ 。
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