## 前缀和
-前缀和是一种重要的预处理，能大大降低查询的时间复杂度。我们可以简单理解为“数列的前 n 项的和”。
+前缀和是一种重要的预处理，能大大降低查询的时间复杂度。可以简单理解为“数列的前 n 项的和”。[^note1]
-!!! 例题
- 有 N 个的正整数放到数组 A 里，现在要求一个新的数组 B，新数组的第 i 个数 B[i]是原数组 A 第 0 到第 i 个数的和。
+C++ 标准库中实现了前缀和函数 [`std::partial_sum`](https://zh.cppreference.com/w/cpp/algorithm/partial_sum)，定义于头文件 `<numeric>` 中。
-对于这道题，我们有两种做法：
+### 例题
-- 把对数组 A 的累加依次放入数组 B 中。
-- 递推： `B[i] = B[i-1] + A[i]` ，前提 `B[0] = A[0]` 。
+!!! 例题
-参考程序：
+ 有 N 个的正整数放到数组 A 里，现在要求一个新的数组 B，新数组的第 i 个数 B[i] 是原数组 A 第 0 到第 i 个数的和。
-```cpp
-#include <iostream>
+ 输入：
-using namespace std;
+ 5
+ 1 2 3 4 5
-int N, A[10000], B[10000];
-int main() {
- cin >> N;
- for (int i = 0; i < N; i++) {
- cin >> A[i];
- }
+ 输出：
- B[0] = A[0];
+ 1 3 6 10 15
- for (int i = 1; i < N; i++) {
- B[i] = B[i - 1] + A[i];
- }
+??? note "解题思路"
- for (int i = 0; i < N; i++) {
- cout << B[i] << " ";
- }
+ 对于这道题，我们有两种做法：
- return 0;
-}
-```
+ - 把对数组 A 的累加依次放入数组 B 中。
+ - 递推： `B[i] = B[i-1] + A[i]` ，前提 `B[0] = A[0]` 。
-输入：
+??? note "参考代码"
+ ```cpp
+ #include <iostream>
- 5
- 1 2 3 4 5
+ using namespace std;
-输出：
+ int N, A[10000], B[10000];
+ int main() {
+ cin >> N;
+ for (int i = 0; i < N; i++) {
+ cin >> A[i];
+ }
- 1 3 6 10 15
+ // 前缀和数组的第一项和原数组的第一项是相等的。
+ B[0] = A[0];
-首先， `B[0] = A[0];` ，前缀和数组的第一项和原数组的第一项是相等的。
+ for (int i = 1; i < N; i++) {
+ // 前缀和数组的第 i 项 = 原数组的 0 到 i-1 项的和 + 原数组的第 i 项。
+ B[i] = B[i - 1] + A[i];
+ }
- `B[i] = B[i-1] + A[i]` 意思就是：前缀和数组的第 i 项 = 原数组的 0 到 i-1 项的和 + 原数组的第 i 项。
+ for (int i = 0; i < N; i++) {
+ cout << B[i] << " ";
+ }
-### 习题
+ return 0;
+ }
+ ```
-- [洛谷 U53525 前缀和（例题）](https://www.luogu.com.cn/problem/U53525)
-- [洛谷 U69096 前缀和的逆](https://www.luogu.com.cn/problem/U69096)
-- [AT2412 最大の和](https://vjudge.net/problem/AtCoder-joi2007ho_a#author=wuyudi)
-- [「USACO16JAN」子共七 Subsequences Summing to Sevens](https://www.luogu.com.cn/problem/P3131)
+### 二维/多维前缀和
-### 参考
+多维前缀和的普通求解方法几乎都是基于容斥原理。
-感谢南海区青少年信息学奥林匹克内部训练教材。
+???+note "示例：一维前缀和扩展到二维前缀和"
-## 二维/多维前缀和
+ 比如我们有这样一个矩阵 $a$ ，可以视为二维数组：
-其实前缀和几乎都是基于容斥原理，所以各种拓展自己手推一下就行了。
-这里用二维前缀和为例讲解一下前缀和扩展到多维的方式。
+ ```text
+ 1 2 4 3
+ 5 1 2 4
+ 6 3 5 9
+ ```
-比如我们有这样一个矩阵 $a$ ，可以视为二维数组：
+ 我们定义一个矩阵 $sum$ ， $sum_{x,y} = \sum\limits_{i=1}^x \sum\limits_{j=1}^y a_{i,j}$ ，
+ 那么这个矩阵长这样：
-```plain
-1 2 4 3
-5 1 2 4
-6 3 5 9
-```
+ ```text
+ 1 3 7 10
+ 6 9 15 22
+ 12 18 29 45
+ ```
-我们定义一个矩阵 $sum$ ， $sum_{x,y} = \sum\limits_{i=1}^x \sum\limits_{j=1}^y a_{i,j}$ ，
-那么这个矩阵长这样：
+ 第一个问题就是递推求 $sum$ 的过程， $sum_{i,j} = sum_{i - 1,j} + sum_{i,j - 1} - sum_{i - 1,j - 1} + a_{i,j}$ 。
-```plain
-1 3 7 10
-6 9 15 22
-12 18 29 45
-```
+ 因为加了 $sum_{i - 1,j}$ 和 $sum_{i,j - 1}$ 重复了 $sum_{i - 1,j - 1}$ ，所以减去。
-第一个问题就是递推求 $sum$ 的过程， $sum_{i,j} = sum_{i - 1,j} + sum_{i,j - 1} - sum_{i - 1,j - 1} + a_{i,j}$ 。
-因为加了 $sum_{i - 1,j}$ 和 $sum_{i,j - 1}$ 重复了 $sum_{i - 1,j - 1}$ ，所以减去。
+ 第二个问题就是如何应用，譬如求 $(x1,y1) - (x2,y2)$ 子矩阵的和。
-第二个问题就是如何应用，譬如求 $(x1,y1) - (x2,y2)$ 子矩阵的和。
-那么，根据类似的思考过程，易得答案为 $sum_{x2,y2} - sum_{x1 - 1,y2} - sum_{x2,y1 - 1} + sum_{x1 - 1,y1 - 1}$ 。
+ 那么，根据类似的思考过程，易得答案为 $sum_{x2,y2} - sum_{x1 - 1,y2} - sum_{x2,y1 - 1} + sum_{x1 - 1,y1 - 1}$ 。
-下面给出 [洛谷 P1387 最大正方形](https://www.luogu.com.cn/problem/P1387) 这道题目的参考程序来帮助大家理解二维前缀和。
+#### 例题
-```cpp
-#include <algorithm>
-#include <iostream>
-using namespace std;
-int a[103][103];
-int b[103][103]; // 前缀和数组，相当于上文的 sum[]
-int main() {
- int n, m;
- cin >> n >> m;
+???+note "[洛谷 P1387 最大正方形](https://www.luogu.com.cn/problem/P1387)"
- for (int i = 1; i <= n; i++) {
- for (int j = 1; j <= m; j++) {
- cin >> a[i][j];
- b[i][j] =
- b[i][j - 1] + b[i - 1][j] - b[i - 1][j - 1] + a[i][j]; // 求前缀和
- }
- }
+ 在一个n*m的只包含0和1的矩阵里找出一个不包含0的最大正方形，输出边长。
- int ans = 1;
+??? note "参考代码"
+
+ ```cpp
+ #include <algorithm>
+ #include <iostream>
+ using namespace std;
+ int a[103][103];
+ int b[103][103]; // 前缀和数组，相当于上文的 sum[]
+ int main() {
+ int n, m;
+ cin >> n >> m;
- int l = 2;
- while (l <= min(n, m)) {
- for (int i = l; i <= n; i++) {
- for (int j = l; j <= m; j++) {
- if (b[i][j] - b[i - l][j] - b[i][j - l] + b[i - l][j - l] == l * l) {
- ans = max(ans, l);
+ for (int i = 1; i <= n; i++) {
+ for (int j = 1; j <= m; j++) {
+ cin >> a[i][j];
+ b[i][j] =
+ b[i][j - 1] + b[i - 1][j] - b[i - 1][j - 1] + a[i][j]; // 求前缀和
}
}
- }
- l++;
- }
- cout << ans << endl;
- return 0;
-}
-```
+ int ans = 1;
-### 习题
+ int l = 2;
+ while (l <= min(n, m)) {
+ for (int i = l; i <= n; i++) {
+ for (int j = l; j <= m; j++) {
+ if (b[i][j] - b[i - l][j] - b[i][j - l] + b[i - l][j - l] == l * l) {
+ ans = max(ans, l);
+ }
+ }
+ }
+ l++;
+ }
-- [HDU 6514 Monitor](http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6514)
-- [洛谷 P1387 最大正方形](https://www.luogu.com.cn/problem/P1387)
-- [「HNOI2003」激光炸弹](https://www.luogu.com.cn/problem/P2280)
+ cout << ans << endl;
+ return 0;
+ }
+ ```
### 基于 DP 计算高维前缀和
-å\89\8dä¸\80è\8a\82æ\96¹æ³\95æ\9c¬è´¨ä¸\8aæ\98¯å\9fºäº\8e容æ\96¥å\8e\9fç\90\86æ\9d¥è®¡ç®\97é«\98ç»´å\89\8dç¼\80å\92\8cï¼\8cå\85¶ä¼\98ç\82¹å\9c¨äº\8eå½¢å¼\8fè¾\83为ç®\80å\8d\95ï¼\8cæ\97 é\9c\80ç\89¹å\88«è®°å¿\86ï¼\8cä½\86å½\93ç»´æ\95°å\8d\87é«\98æ\97¶ï¼\8cå\85¶å¤\8dæ\9d\82度è¾\83é«\98ã\80\82è¿\99é\87\8cä»\8bç»\8dä¸\80ç§\8då\9fºäº\8e DP 计算高维前缀和的方法。该方法即通常语境中所称的 **高维前缀和** 。
+å\9fºäº\8e容æ\96¥å\8e\9fç\90\86æ\9d¥è®¡ç®\97é«\98ç»´å\89\8dç¼\80å\92\8cç\9a\84æ\96¹æ³\95ï¼\8cå\85¶ä¼\98ç\82¹å\9c¨äº\8eå½¢å¼\8fè¾\83为ç®\80å\8d\95ï¼\8cæ\97 é\9c\80ç\89¹å\88«è®°å¿\86ï¼\8cä½\86å½\93ç»´æ\95°å\8d\87é«\98æ\97¶ï¼\8cå\85¶å¤\8dæ\9d\82度è¾\83é«\98ã\80\82è¿\99é\87\8cä»\8bç»\8dä¸\80ç§\8då\9fºäº\8e [DP](../dp/basic.md) 计算高维前缀和的方法。该方法即通常语境中所称的 **高维前缀和** 。
设高维空间 $U$ 共有 $D$ 维，需要对 $f[\cdot]$ 求高维前缀和 $\text{sum}[\cdot]$ 。令 $\text{sum}[i][\text{state}]$ 表示同 $\text{state}$ 后 $D - i$ 维相同的所有点对于 $\text{state}$ 点高维前缀和的贡献。由定义可知 $\text{sum}[0][\text{state}] = f[\text{state}]$ ，以及 $\text{sum}[\text{state}] = \text{sum}[D][\text{state}]$ 。
其递推关系为 $\text{sum}[i][\text{state}] = \text{sum}[i - 1][\text{state}] + \text{sum}[i][\text{state}']$ ，其中 $\text{state}'$ 为第 $i$ 维恰好比 $\text{state}$ 少 $1$ 的点。该方法的复杂度为 $O(D \times |U|)$ ，其中 $|U|$ 为高维空间 $U$ 的大小。
-其一种实现的伪代码如下：
+一种实现的伪代码如下：
for state
sum[state] = f[state];
for 以字典序从小到大枚举 state
sum[state] += sum[state'];
-## 树上前缀和
+### 树上前缀和
设 $sum_i$ 表示结点 $i$ 到根节点的权值总和。
-然后若是点权， $x,y$ 路径上的和为 $sum_x + sum_y - sum_{lca} - sum_{fa_{lca}}$ ；
-否则若是边权， $x,y$ 路径上的和为 $sum_x + sum_y - 2sum_{lca}$ 。
-
-至于 lca 的求法请移步 [最近公共祖先](../graph/lca.md) 。
+然后：
+- 若是点权， $x,y$ 路径上的和为 $sum_x + sum_y - sum_{lca} - sum_{fa_{lca}}$ 。
+- 若是边权， $x,y$ 路径上的和为 $sum_x + sum_y - 2sum_{lca}$ 。
-### 习题
-
-- [LOJ 10134.Dis](https://loj.ac/problem/10134)
-- [LOJ 2491. 求和](https://loj.ac/problem/2491)
+$lca$ 的求法参见 [最近公共祖先](../graph/lca.md) 。
## 差分
-差分，是一种和前缀和相对的策略，可以当做是求和的逆运算。
-这种策略是，令 $b_i=\begin{cases}a_i-a_{i-1}\,&i \in[2,n] \\ a_1\,&i=1\end{cases}$
+差分是一种和前缀和相对的策略，可以当做是求和的逆运算。
+
+这种策略的定义是令 $b_i=\begin{cases}a_i-a_{i-1}\,&i \in[2,n] \\ a_1\,&i=1\end{cases}$
简单性质：
- $a_i$ 的值是 $b_i$ 的前缀和，即 $a_n=\sum\limits_{i=1}^nb_i$
- 计算 $a_i$ 的前缀和 $sum=\sum\limits_{i=1}^na_i=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^{i}b_j=\sum\limits_{i}^n(n-i+1)b_i$
-它可以维护多次对序列的一个区间加上一个数，并在最后询问某一位的数或是多次询问某一位的数。（总之修改操作一定要在查询操作之前）
-具体怎么搞？譬如使 $[l,r]$ 中的每个数加上一个 $k$ ，就是
+它可以维护多次对序列的一个区间加上一个数，并在最后询问某一位的数或是多次询问某一位的数。注意修改操作一定要在查询操作之前。
-$$
-b_l \leftarrow b_l + k,b_{r + 1} \leftarrow b_{r + 1} - k
-$$
+???+note "示例"
-其中 $b_l+k=a_l+k-a_{l-1}$ , $b_{r+1}-k=a_{r+1}-(a_r+k)$ 最后做一遍前缀和就好了。
+ 譬如使 $[l,r]$ 中的每个数加上一个 $k$ ，就是
-### 习题
+ $$
+ b_l \leftarrow b_l + k,b_{r + 1} \leftarrow b_{r + 1} - k
+ $$
-- [树状数组 3：区间修改，区间查询](https://loj.ac/problem/132)
-- [P3397 地毯](https://www.luogu.com.cn/problem/P3397)
-- [「Poetize6」IncDec Sequence](https://www.luogu.com.cn/problem/P4552)
+ 其中 $b_l+k=a_l+k-a_{l-1}$ , $b_{r+1}-k=a_{r+1}-(a_r+k)$
+
+ 最后做一遍前缀和就好了。
-## 树上差分
+C++ 标准库中实现了差分函数 [`std::adjacent_difference`](https://zh.cppreference.com/w/cpp/algorithm/adjacent_difference)，定义于头文件 `<numeric>` 中。
+
+### 树上差分
树上差分可以理解为对树上的某一段路径进行差分操作，这里的路径可以类比一维数组的区间进行理解。例如在对树上的一些路径进行频繁操作，并且询问某条边或者某个点在经过操作后的值的时候，就可以运用树上差分思想了。
树上差分通常会结合 [树基础](../graph/tree-basic.md) 和 [最近公共祖先](../graph/lca.md) 来进行考察。树上差分又分为 **点差分** 与 **边差分** ，在实现上会稍有不同。
-### 点差分
+#### 点差分
-举个ä¾\8bå\90：对域树上的一些路径 $\delta(s_1,t_1), \delta(s_2,t_2), \delta(s_3,t_3)\dots$ 进行访问，问一条路径 $\delta(s,t)$ 上的点被访问的次数。
+举ä¾\8b：对域树上的一些路径 $\delta(s_1,t_1), \delta(s_2,t_2), \delta(s_3,t_3)\dots$ 进行访问，问一条路径 $\delta(s,t)$ 上的点被访问的次数。
对于一次 $\delta(s,t)$ 的访问，需要找到 $s$ 与 $t$ 的公共祖先，然后对这条路径上的点进行访问（点的权值加一），若采用 DFS 算法对每个点进行访问，由于有太多的路径需要访问，时间上承受不了。这里进行差分操作：
可以认为公式中的前两条是对蓝色方框内的路径进行操作，后两条是对红色方框内的路径进行操作。不妨将 $lca$ 左侧的直系子节点命名为 $left$ 。那么就有 $d_{lca}-1=a_{lca}-(a_{left}+1)$ ， $d_{f(lca)}-1=a_{f(lca)}-(a_{lca}+1)$ 。可以发现实际上点差分的操作和上文一维数组的差分操作是类似的。
-下面给出 [洛谷 3128 最大流](https://www.luogu.com.cn/problem/P3128) 的参考程序帮助理解。
+#### 边差分
+
+若是对路径中的边进行访问，就需要采用边差分策略了，使用以下公式：
-??? note "参考程序"
+$$
+\begin{aligned}
+&d_s\leftarrow d_s+1\\
+&d_t\leftarrow d_t+1\\
+&d_{lca}\leftarrow d_{lca}-2\\
+\end{aligned}
+$$
+
+
+
+由于在边上直接进行差分比较困难，所以将本来应当累加到红色边上的值向下移动到附近的点里，那么操作起来也就方便了。对于公式，有了点差分的理解基础后也不难推导，同样是对两段区间进行差分。
+
+### 例题
+
+???+note "[洛谷 3128 最大流](https://www.luogu.com.cn/problem/P3128)"
+ FJ给他的牛棚的$N(2≤N≤50,000)$个隔间之间安装了$N-1$根管道，隔间编号从$1$到$N$。所有隔间都被管道连通了。
+
+ FJ有$K(1≤K≤100,000)$条运输牛奶的路线，第$i$条路线从隔间si运输到隔间ti。一条运输路线会给它的两个端点处的隔间以及中间途径的所有隔间带来一个单位的运输压力，你需要计算压力最大的隔间的压力是多少。
+
+??? note "解题思路"
需要统计每个点经过了多少次，那么就用树上差分将每一次的路径上的点加一，可以很快得到每个点经过的次数。这里采用倍增法进行 lca 的计算。最后对 DFS 遍历整棵树，在回溯时对差分数组求和就能求得答案了。
-
+
+??? note "参考代码"
```cpp
#include <bits/stdc++.h>
}
```
-### 边差分
+## 习题
-若是对路径中的边进行访问，就需要采用边差分策略了，使用以下公式：
+---
-$$
-\begin{aligned}
-&d_s\leftarrow d_s+1\\
-&d_t\leftarrow d_t+1\\
-&d_{lca}\leftarrow d_{lca}-2\\
-\end{aligned}
-$$
+前缀和：
-
+- [洛谷 U53525 前缀和（例题）](https://www.luogu.com.cn/problem/U53525)
+- [洛谷 U69096 前缀和的逆](https://www.luogu.com.cn/problem/U69096)
+- [AT2412 最大の和](https://vjudge.net/problem/AtCoder-joi2007ho_a#author=wuyudi)
+- [「USACO16JAN」子共七 Subsequences Summing to Sevens](https://www.luogu.com.cn/problem/P3131)
-由于在边上直接进行差分比较困难，所以将本来应当累加到红色边上的值向下移动到附近的点里，那么操作起来也就方便了。对于公式，有了点差分的理解基础后也不难推导，同样是对两段区间进行差分。
+---
-### 习题
+二维/多维前缀和：
+
+- [HDU 6514 Monitor](http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6514)
+- [洛谷 P1387 最大正方形](https://www.luogu.com.cn/problem/P1387)
+- [「HNOI2003」激光炸弹](https://www.luogu.com.cn/problem/P2280)
+
+---
+
+树上前缀和：
+
+- [LOJ 10134.Dis](https://loj.ac/problem/10134)
+- [LOJ 2491. 求和](https://loj.ac/problem/2491)
+
+---
+
+差分：
+
+- [树状数组 3：区间修改，区间查询](https://loj.ac/problem/132)
+- [P3397 地毯](https://www.luogu.com.cn/problem/P3397)
+- [「Poetize6」IncDec Sequence](https://www.luogu.com.cn/problem/P4552)
+
+---
+
+树上差分：
- [洛谷 3128 最大流](https://www.luogu.com.cn/problem/P3128)
- [JLOI2014 松鼠的新家](https://loj.ac/problem/2236)
- [NOIP2015 运输计划](http://uoj.ac/problem/150)
- [NOIP2016 天天爱跑步](http://uoj.ac/problem/261)
+
+---
+
+## 参考资料与注释
+
+[^note1]: 南海区青少年信息学奥林匹克内部训练教材
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