- $\mathrm{Pr}[A]$ 表示事件 $A$ 发生的概率。
- $\mathrm{E}[X]$ 表示随机变量 $X$ 的期望。
+- 赋值号 $:=$ 表示引入新的量，例如 $Y:=1926$ 表示引入值为 $1926$ 的量 $Y$ 。
## 用随机集合覆盖目标元素
### 例： [CodeChef SELEDGE](https://www.codechef.com/problems/SELEDGE)
???+ note "简要题意"
- to be written
+ 给定一张点、边都有非负权值的无向图，找到一个大小 $\leq K$ 的边集合 $S$ ，以最大化与 $S$ 相连的点的权值和减去 $S$ 的边权和。一个点的权值只被计算一次。
观察：如果选出的边中有三条边构成一条链，则删掉中间的那条一定不劣；如果选出的边中有若干条构成环，则删掉任何一条一定不劣。
### 例： [Gym 101550I](https://codeforces.com/gym/101550/attachments)
???+ note "简要题意"
- to be written
+ 有一张图形如：两条平行的链，加上连接两链的两条平行边。给定这张图上的若干条简单路径（每条路径表示一次通话），请你选择尽量少的边放置窃听器，以使得每条给定的路径上都有至少一个窃听器。
整张图可以拆分为一个环加上四条从环伸出去的链。对于这四条链中的任何一条（记作 $C$ ），考虑在这条链上如何放置窃听器，容易通过贪心算法得到满足以下条件的方案：
### 例： [CSES 1685 New Flight Routes](https://cses.fi/problemset/task/1685)
???+ note "简要题意"
- to be written
+ 给定一张有向图，请你加最少的边使得该图强连通，需 **输出方案** 。
先对原图进行强连通缩点。我们的目标显然是使每个汇点能到达每个源点。
### 例： [TopCoder MagicMolecule](https://community.topcoder.com/stat?c=problem_statement&pm=11705) 随机化解法
???+ note "简要题意"
- to be written
+ 给定一张 $n$ 个点、带点权的无向图，在其中所有大小不小于 $\dfrac {2n}3$ 的团中，找到点权和最大的那个。
+
+ $n\leq 50$
不难想到折半搜索。把点集均匀分成左右两半 $V_L,V_R$ （大小都为 $\dfrac n2$ ），计算数组 $f_{L,k}$ 表示点集 $L\subseteq V_L$ 中的所有 $\geq k$ 元团的最大权值和。接着我们枚举右半边的每个团 $C_R$ ，算出左半边有哪些点与 $C_R$ 中的所有点相连（这个点集记作 $N_L$ ），并用 $f_{N_L,\frac 23 n-|C_R|}+\textit{value}(C_R)$ 更新答案。
### 例： [UOJ #207 共价大爷游长沙](https://uoj.ac/problem/207)
???+ note "简要题意"
- to be written
+ 维护一棵动态变化的树，和一个动态变化的结点二元组集合。你需要支持：
+
+ - 删边、加边。保证得到的还是一棵树。
+ - 加入/删除某个结点二元组。
+ - 给定一条边 $e$ ，判断是否对于集合中的每个结点二元组 $(s,t)$ ， $e$ 都在 $s,t$ 间的简单路径上。
对图中的每条边 $e$ ，我们定义集合 $S_e$ 表示经过该边的关键路径（即题中的 $(a,b)$ ）集合。考虑对每条边动态维护集合 $S_e$ 的哈希值，这样就能轻松判定 $S_e$ 是否等于全集（即 $e$ 是否是“必经之路”）。
哈希的方式是，对每个 $(a,b)$ 赋予 $2^{64}$ 以内的随机非负整数 $H_{(a,b)}$ ，然后一个集合的哈希值就是其中元素的 $H$ 值的异或和。
-è¿\99æ ·ç\9a\84è¯\9dï¼\8cä»»ä½\95ä¸\80个å\9bºå®\9aç\9a\84é\9b\86å\90\88ç\9a\84å\93\88å¸\8cå\80¼ä¸\80å®\9aæ\9c\8dä»\8e $R:=\big\{0,1,\cdots,2^{64}-1\big\}$ ä¸\8aç\9a\84å\9d\87å\8c\80å\88\86å¸\83ï¼\8c这是因为：
+è¿\99æ ·ç\9a\84è¯\9dï¼\8cä»»ä½\95ä¸\80个å\9bºå®\9aç\9a\84é\9b\86å\90\88ç\9a\84å\93\88å¸\8cå\80¼ä¸\80å®\9aæ\9c\8dä»\8e $R:=\big\{0,1,\cdots,2^{64}-1\big\}$ ä¸\8aç\9a\84å\9d\87å\8c\80å\88\86å¸\83ï¼\88æ\8d¢å\8f¥è¯\9d说ï¼\8cå\93\88å¸\8cå\80¼ç\9a\84å\8f\96å\80¼è\8c\83å\9b´ä¸º $R$ ï¼\8cä¸\94å\8f\96æ¯\8fä¸\80个å\80¼ç\9a\84æ¦\82ç\8e\87ç\9b¸ç\89ï¼\89ã\80\82这是因为：
1. 单个 $H_{(a,b)}$ 显然服从均匀分布。
2. 两个独立且服从 $R$ 上的均匀分布的随机变量的异或和，一定也服从 $R$ 上的均匀分布。自证不难。
这里仅关注第二部分，即如何求一个矩阵序列的递推式。所以我们只需考虑下述问题：
???+ note "问题"
- 给定一个矩阵序列，该序列在模 $P=998244353$ 意义下服从一个齐次线性递推式（递推式中的数乘和加法运算定义为矩阵的数乘和加法），求出最短递推式。
+ 给定一个矩阵序列，该序列在模 $P:=998244353$ 意义下服从一个齐次线性递推式（递推式中的数乘和加法运算定义为矩阵的数乘和加法），求出最短递推式。
如果一系列矩阵服从一个递推式 $F$ ，那么它的每一位也一定服从 $F$ 。然而，如果对某一位求出最短递推式 $F'$ ，则 $F'$ 可能会比 $F$ 更短，从而产生问题。
-解å\86³æ\96¹æ¡\88æ\98¯ï¼\8cç»\99ç\9f©é\98µç\9a\84æ¯\8fä¸\80ä½\8d $(i,j)$ èµ\8bäº\88ä¸\80个 $<P$ ç\9a\84é\9a\8fæ\9cºæ\9d\83å\80¼ $x_{i,j}$ ï¼\8c计ç®\97åº\8få\88\97ä¸æ¯\8f个ç\9f©é\98µç\9a\84æ\89\80æ\9c\89ä½\8dç\9a\84å\8a æ\9d\83å\92\8c模 $P$ ç\9a\84ç»\93æ\9e\9cï¼\8cç\84¶å\90\8e对所得数列运行 BM 算法。
+解å\86³æ\96¹æ¡\88æ\98¯ï¼\9aç»\99ç\9f©é\98µç\9a\84æ¯\8fä¸\80ä½\8d $(i,j)$ èµ\8bäº\88ä¸\80个 $<P$ ç\9a\84é\9a\8fæ\9cºæ\9d\83å\80¼ $x_{i,j}$ ï¼\8cç\84¶å\90\8e对äº\8eåº\8få\88\97ä¸æ¯\8f个ç\9f©é\98µè®¡ç®\97å\85¶æ\89\80æ\9c\89ä½\8dç\9a\84å\8a æ\9d\83å\92\8c模 $P$ ç\9a\84ç»\93æ\9e\9cï¼\8cå\86\8dæ\8a\8aæ¯\8f个ç\9f©é\98µç®\97å\87ºç\9a\84è¿\99个æ\95°è¿\9eæ\88\90ä¸\80个æ\95°å\88\97ï¼\8cæ\9c\80å\90\8eæ\88\91们对所得数列运行 BM 算法。
错误率分析：
- 假设 $(i,j)$ 是唯一的不服从的位置，则一定有：
$$
-T_{i,j}:=x_{i,j}\cdot\big(S(N)_{i,j}-F'_1S(N-1)_{i,j}-\cdots-F'_lS(N-l)_{i,j}\big)\bmod P=0
+T_{i,j}:=\Big(x_{i,j}\cdot\big(S(N)_{i,j}-F'_1S(N-1)_{i,j}-\cdots-F'_lS(N-l)_{i,j}\big)\bmod P\Big)=0
$$
- 显然这仅当 $x_{i,j}=0$ 时才成立，概率 $P^{-1}$ 。
### 例： [UOJ #552 同构判定鸭](https://uoj.ac/problem/552) 及其错误率分析
???+ note "简要题意"
- to be written
+ 给定两张边权为小写字母的有向图 $G_0,G_1$ ，你要对这两张图分别算出「所有路径对应的字符串构成的多重集」（可能是无穷集），并判断这两个多重集是否相等。如果不相等，你要给出一个最短的串，满足它在两个多重集中的出现次数不相等。
令 $f_{K,i,j}$ 表示图 $G_K$ 中从点 $i$ 开始的所有长为 $j$ 的路径，这些路径对应的所有字符串构成的多重集的哈希值。按照 $j$ 升序考虑每个状态，转移时枚举 $i$ 的出边并钦定该边为路径上的第一条边。
对每一个二元组 $(c,j)$ （其中 $c$ 为字符， $j$ 为整数表示 $c$ 在某个串中的第几位）我们都预先生成一个随机数 $x_{c,j}$ 。然后我们把串 $a_1a_2\cdots a_k$ 映射到 $x_{a_1,1}x_{a_2,2}\cdots x_{a_k,k}\bmod Q$ 上（其中 $Q$ 为 **随机选取** 的质数）、再把多重集的哈希值定为其中元素的哈希值之和模 $Q$ 。接下来分析它的错误率。
???+ note "(\*)Schwartz-Zippel 引理"
- 令 $f\in F[x_1,\cdots,x_k]$ 为域 $F$ 上的 $k$ 元 $d$ 次多项式，令 $S$ 为 $F$ 的有限子集，则至多有 $d\cdot |S|^{k-1}$ 组 $(x_1,\cdots,x_k)\in S^k$ 满足 $f(x_1,\cdots,x_k)=0$ 。
+ 令 $f\in F[z_1,\cdots,z_k]$ 为域 $F$ 上的 $k$ 元 $d$ 次非零多项式，令 $S$ 为 $F$ 的有限子集，则至多有 $d\cdot |S|^{k-1}$ 组 $(z_1,\cdots,z_k)\in S^k$ 满足 $f(z_1,\cdots,z_k)=0$ 。
+
+ ??? mdui-shadow-6 "如果你不知道域是什么"
+ 你只需记得这两样东西都是域：
+
+ 1. 模质数的剩余系，以及其上的各种运算。
+ 2. 实数集，以及其上的各种运算。
- 推论：若 $x_1,\cdots,x_k$ 都在 $S$ 中等概率独立随机选取，则 $\mathrm{Pr}\big[f(x_1,\cdots,x_k)=0\big]\leq \dfrac d{|S|}$ 。
+ 推论：若 $z_1,\cdots,z_k$ 都在 $S$ 中等概率独立随机选取，则 $\mathrm{Pr}\big[f(z_1,\cdots,z_k)=0\big]\leq \dfrac d{|S|}$ 。
记 $F$ 为模 $Q$ 的剩余系所对应的域，则对于一个 $L\leq n_1+n_2$ ， $\sum\limits_i f_{0,i,L}$ 和 $\sum\limits_i f_{1,i,L}$ 就分别对应着一个 $F$ 上关于变元集合 $\{x_{*,*}\}$ 的 $L$ 次多元多项式，不妨将这两个多项式记为 $P_0,P_1$ 。
分析后者发生的概率：
-- 直接套用 Schwartz-Zippel 引理，得到该概率 $\leq \dfrac LQ$ 。
+- 在 Schwartz-Zippel 引理中：
+ - 取域 $F$ 为模 $Q$ 的剩余系对应的域
+ - 取 $f(x_{*,*})=P_0(x_{*,*})-P_1(x_{*,*})$ 为 $L$ 次非零多项式
+ - 取 $S=F$
+- 得到：所求概率 $\leq \dfrac LQ$ 。
注意到我们需要对每个 $L$ 都能保证正确性，所以要想保证严谨的话还需用 Union Bound（见后文）说明一下。
- 如果该子集大小不到 $\dfrac n2$ ，则利用第二个算法不断添加元素，直到将大小补到 $\dfrac n2$ 。
- 如果该子集大小超过 $\dfrac n2$ ，则利用第二个算法不断删除元素，直到将大小削到 $\dfrac n2$ 。
- 尝试分析第二、第三步所需的操作次数：
+ å°\9dè¯\95å\88\86æ\9e\90第äº\8cã\80\81第ä¸\89æ¥æ\89\80é\9c\80ç\9a\84æ\93\8dä½\9c次æ\95°ï¼\88å\8d³æ·»å\8a /å\88 é\99¤å\85\83ç´ ç\9a\84次æ\95°ï¼\89ï¼\9a
- - 记 01 随机变量 $X_i$ 表示 $i$ 是否被选入初始的子集，令 $X:=X_1+\cdots+X_n$ 表示子集大小，则第二、第三步所需的操作次数等于 $\big|X-\mathrm{E}[X]\big|$ 。在 Hoeffding 不等式中取 $t=c\cdot\sqrt n$ （其中 $c$ 为任意常数），得到 $\mathrm{Pr}\Big[\big|X-\mathrm{E}[X]\big|\geq t\Big]\leq 2e^{-c^2}$ 。也就是说，我们可以通过允许 $\Theta(\sqrt n)$ 级别的偏移，来得到任意小的常数级别的失败概率。（注意到这并不一定说明偏移量的期望值就是 $\Theta(\sqrt n)$ ）
+ - 记 01 随机变量 $X_i$ 表示 $i$ 是否被选入初始的子集，令 $X:=X_1+\cdots+X_n$ 表示子集大小，则第二、第三步所需的操作次数等于 $\big|X-\mathrm{E}[X]\big|$ 。在 Hoeffding 不等式中取 $t=c\cdot\sqrt n$ （其中 $c$ 为任意常数），得到 $\mathrm{Pr}\Big[\big|X-\mathrm{E}[X]\big|\geq t\Big]\leq 2e^{-c^2}$ 。也就是说，我们可以通过允许 $\Theta(\sqrt n)$ 级别的偏移，来得到任意小的常数级别的失败概率。
- 至此我们已经基本能够确信，第二、第三步的操作次数应该不是瓶颈，该算法的期望抛硬币次数应该是 $n+o(n)$ 。
+ 至此我们已经说明：该算法可以以很大概率保证抛硬币次数在 $n+\Theta(\sqrt n\log n)$ 以内。
- ??? mdui-shadow-6 "更精确的结果"
- 尝试用 Hoeffding 不等式求第二、第三步中操作次数期望值的上界：
+ - 其中 $n$ 来自获得初始子集的抛硬币次数； $\Theta(\sqrt n\log n)$ 是 $\Theta(\sqrt n)$ 次添加/删除元素的总开销。
+
+ ??? mdui-shadow-6 "计算期望复杂度"
+ 我们再从另一个角度分析，尝试计算该算法的期望抛硬币次数。
+
+ 用 Hoeffding 不等式求第二、第三步中操作次数期望值的上界：
$$
\mathrm{E}\Big[\big|X-\mathrm{E}[X]\big|\Big]=\int\limits_0^\infty \mathrm{Pr}\Big[\big|X-\mathrm{E}[X]\big|\geq t\Big]\mathrm{d}t\leq2\int\limits_0^\infty \exp {-\dfrac {t^2}n}\mathrm{d}t=\sqrt{\pi n}
#### 应用： [NERC 2019 Problem G: Game Relics](https://codeforces.com/contest/1267/problem/G)
???+ note "简要题意"
- to be written
+ 有若干个物品，每个物品有一个价格 $c_i$ 。你想要获得所有物品，为此你可以任意地进行两种操作：
+
+ 1. 选择一个未拥有的物品 $i$ ，花 $c_i$ 块钱买下来。
+ 2. 花 $x$ 块钱从所有物品（包括已经拥有的）中等概率随机抽取一个。如果尚未拥有该物品，则直接获得它；否则一无所获，但是会返还 $\dfrac x2$ 块钱。 $x$ 为输入的常数。
+
+ 问最优策略下的期望花费。
观察：如果选择抽物品，就一定会一直抽直到获得新物品为止。
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