???+note "证明"
对于 $\forall p \in \mathbf{Z}$ ,有 $1 \times 1 \equiv 1 \pmod p$ 恒成立,故在 $p$ 下 $1$ 的逆元是 $1$ ,而这是推算出其他情况的基础。
-其次对于递归情况 $i^{-1}$ ,我们令 $k = \lfloor \frac{p}{i} \rfloor$ , $j = k \bmod i$ ,有 $p = ki + j$ 。再放到 $\mod p$ 意义下就会得到: $ki+j \equiv 0 \pmod p$ ;
+其次对于递归情况 $i^{-1}$ ,我们令 $k = \lfloor \frac{p}{i} \rfloor$ , $j = p \bmod i$ ,有 $p = ki + j$ 。再放到 $\mod p$ 意义下就会得到: $ki+j \equiv 0 \pmod p$ ;
两边同时乘 $i^{-1} \times j^{-1}$ :
$i^{-1} \equiv -kj^{-1} \pmod p$
-再带入 $j = k \bmod i$ ,有 $p = ki + j$ ,有:
+再带入 $j = p \bmod i$ ,有 $p = ki + j$ ,有:
$i^{-1} \equiv -\lfloor\frac{p}{i}\rfloor (p \bmod i)^{-1} \pmod p$