不考虑出生年份，问：一个房间中至少多少人，才能使其中两个人生日相同的概率达到 $50\%$ ?
-解：假设一年有 $n$ 天，屋子中有 $k$ 人，用整数 $1, 2,\dots, k$ 对这些人进行编号。假定每个人的生日均匀分布于 $n$ 天之中，且两个人的生日相互独立。
+解：假设一年有 $n$ 天，房间中有 $k$ 人，用整数 $1, 2,\dots, k$ 对这些人进行编号。假定每个人的生日均匀分布于 $n$ 天之中，且两个人的生日相互独立。
设 k 个人生日互不相同为事件 $A$ , 则事件 $A$ 的概率为
e^{-\frac{k(k-1)}{2n}}\le\frac{1}{2}
$$
+然而我们可以得到一个不等式方程， $e^{-\frac{k(k-1)}{2n}}\le 1-p$ ，其中 $p$ 是一个概率。
+
将 $n=365$ 代入，解得 $k=23$ 。所以一个房间中至少 23 人，使其中两个人生日相同的概率达到 $50\%$ , 但这个数学事实十分反直觉，故称之为一个悖论。
-然而我们可以得到一个不等式方程， $e^{-\frac{k(k-1)}{2n}}\le 1-p$ ，其中 $p$ 是一个概率。那么当 $k=57$ ， $n=365$ 时，可以求得 $p\approx 0.99$ 。
+当 $k>60$ ， $n=365$ 时，出现两个人同一天生日的概率将大于$99\%$ 。那么在一年有$n$天的情况下，当房间中有$\sqrt{n}$个人时，至少有两个人的生日相同。
考虑一个问题，设置一个数据 $n$ ，在 $[1,1000]$ 里随机选取 $i$ 个数（ $i=1$ 时就是它自己），使它们之间有两个数的差值为 $k$ 。当 $i=1$ 时成功的概率是 $\frac{1}{1000}$ ，当 $i=2$ 时成功的概率是 $\frac{1}{500}$ （考虑绝对值， $k_2$ 可以取 $k_1-k$ 或 $k_1+k$ ），随着 $i$ 的增大，这个概率也会增大最后趋向于 1。
-## 优化随机算法
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-最大公约数一定是某个数的约数，即 $\forall k \in\mathbb{N}_{+},\gcd(k,n)|n$ ，只要选适当的 $k$ 使得 $1<\gcd(k,n)< n$ ，就可以求得一个约数 $\gcd(k,n)$ 。满足这样条件的 $k$ 不少， $k$ 有若干个质因子，每个质因子及其倍数都是可行的。
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-根据生日悖论，取多组数据作差能够优化取数的精确性。那么不妨取一组数 $x_1,x_2,\dots,x_n$ 若有 $1<\gcd(|x_i-x_j|,n) < n$ , 则称 $\gcd(|x_i-x_j|,N)$ 是 $N$ 的一个因子（更严谨一些，应该是非平凡因子，即满足 $1< d < n,d|n$ 的那些数）。
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### 构造伪随机函数
-æ\9e\84é\80 ä¸\80个伪é\9a\8fæ\9cºæ\95°åº\8få\88\97ï¼\8cå\8f\96ç\9b¸é\82»ç\9a\84两项æ\9d¥æ±\82 $\gcd(|x_i-x_j|,N)$ ã\80\82é\80\9aè¿\87 $f(x)=(x^2+c)\bmod n$ æ\9d¥ç\94\9fæ\88\90é\9a\8fæ\9cºæ\95°，其中 $c=rand()$ ，是一个随机的常数。
+æ\88\91们é\80\9aè¿\87 $f(x)=(x^2+c)\bmod n$ æ\9d¥ç\94\9fæ\88\90ä¸\80个é\9a\8fæ\9cºæ\95°åº\8få\88\97$\{x_i\}$，其中 $c=rand()$ ，是一个随机的常数。
随机取一个 $x_1$ ，令 $x_2=f(x_1),x_3=f(x_2),\dots,x_i=f(x_{i-1})$ ，在一定范围内可以认为这个数列是“随机”的。
可以发现数据在 3 以后都在 11,23,31 之间循环，这也是 $f(x)$ 被称为伪随机函数的原因。
+如果将这些数如下图一样排列起来，会发现这个图像酷似一个$\rho$，算法也因此得名rho。
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+## 优化随机算法
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+最大公约数一定是某个数的约数，即 $\forall k \in\mathbb{N}_{+},\gcd(k,n)|n$ ，只要选适当的 $k$ 使得 $1<\gcd(k,n)< n$ ，就可以求得一个约数 $\gcd(k,n)$ 。满足这样条件的 $k$ 不少， $k$ 有若干个质因子，每个质因子及其倍数都是可行的。
+
+将生日悖论应用到随机算法中，伪随机数序列中不同值的数量约为$O(\sqrt{n})$个。设$m$为$n$的最小非平凡因子，显然有$m\leq \sqrt{n}$。记$y_i = x_i \pmod m$，推导可得：
+
+$$
+\begin{aligned}
+y_{i+1}&=x_{i+1} \bmod m \\
+& = (x_{i}^2+c \bmod n) \bmod m \\
+& = (x_i ^ 2 + c) \bmod m \\
+& = ((x_i \bmod m) ^ 2 + c) \bmod m \\
+& = y_i ^ 2 + c \pmod m
+\end{aligned}
+$$
+
+于是就得到了一个新序列$\{y_i\}$(当然也可以写作$\{x_i \bmod m\}$)，并且根据生日悖论可以得知序列中不同值的个数约为$O(\sqrt{m})\leq O(n^{\frac{1}{4}})$。
+
+假设存在两个位置$i,j$，使得$x_i\neq x_j\wedge y_i=y_j$，这意味着$n \nmid |x_i−x_j| \wedge m \mid |x_i−x_j|$,因此我们可以通过 $\gcd(n, |x_i-x_j|)$获得$n$的一个非平凡因子。
+
+### 时间复杂度分析
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+我们期望枚举 $O(\sqrt{m})$个$i$来分解出 $n$ 的一个非平凡因子 $\gcd(|x_i−x_j|,n)$ ，因此。 Pollard-rho 算法能够在 $O(\sqrt{m})$的期望时间复杂度内分解出 $n$ 的一个非平凡因子，通过上面的分析可知$O(\sqrt{m})\leq O(n^{\frac{1}{4}})$，那么Pollard-rho 算法的总时间复杂度为$O(n^{\frac{1}{4}})$。下面介绍两种实现算法，两种算法都可以在$O(\sqrt{m}$的时间复杂度内完成。
+
### Floyd 判环
假设两个人在赛跑，A 的速度快，B 的速度慢，经过一定时间后，A 一定会和 B 相遇，且相遇时 A 跑过的总距离减去 B 跑过的总距离一定是圈长的 n 倍。
使用 $\gcd$ 求解的时间复杂度为 $O(\log N)$ ，频繁地调用会使算法运行地很慢，可以通过乘法累积来减少求 $\gcd$ 的次数。如果 $1< \gcd(a,b)$ ，则有 $1< \gcd(ac,b)$ ， $c\in \mathbb{N}_{+}$ ，并且有 $1< \gcd(ac \bmod b,b)=\gcd(a,b)$ 。
-我们每过一段时间将这些差值进行 $\gcd$ 运算，设 $s=\prod|x_0-x_j|\bmod n$ ，如果某一时刻得到 $s=0$ 那么表示分解失败，退出并返回 $n$ 本身。每隔 $2^k$ 个数，计算是否满足 $1< \gcd(s, n) < n$ 。
+我们每过一段时间将这些差值进行 $\gcd$ 运算，设 $s=\prod|x_0-x_j|\bmod n$ ，如果某一时刻得到 $s=0$ 那么表示分解失败，退出并返回 $n$ 本身。每隔 $2^k-1$ 个数，计算是否满足 $1< \gcd(s, n) < n$ 。此处取$k=7$，可以根据实际情况进行调节。
??? note "参考实现"
```c++
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