抽象一点地说，维护一堆 **集合** ，查询两个元素是否属于同一集合，合并两个集合。
-我们先啥都不管，假设已经实现了这个数据结构……
-
伪代码：
$$
具体来说，每次要选择距离最小的一个结点，以及用新的边更新其他结点的距离。
-等等，这很像 Dijkstra 算法……
-
其实跟 Dijkstra 算法一样，每次找到距离最小的一个点，可以暴力找也可以用堆维护。
堆优化的方式类似 Dijkstra 的堆优化，但如果使用二叉堆等不支持 $O(1)$ decrease-key 的堆，复杂度就不优于 Kruskal，常数也比 Kruskal 大。所以，一般情况下都使用 Kruskal 算法，在稠密图尤其是完全图上，暴力 Prim 的复杂度比 Kruskal 优，但 **不一定** 实际跑得更快。
倍增、树剖都可以解决，这里不再展开。
-## kruskal 重构树
+## Kruskal 重构树
### 定义
-在跑 kruskal 的过程中我们会从小到大加入若干条边。现在我们仍然按照这个顺序。
+在跑 Kruskal 的过程中我们会从小到大加入若干条边。现在我们仍然按照这个顺序。
首先新建 n 个集合，每个集合恰有一个节点，点权为 $0$ 。
每一次加边会合并两个集合，我们可以新建一个点，点权为加入边的边权，同时将两个集合的根节点分别设为新建点的左儿子和右儿子。然后我们将两个集合和新建点合并成一个集合。将新建点设为根。
-不难发现，在进行 $n-1$ 轮之后我们得到了一棵恰有 $n$ 个叶子的二叉树，同时每个非叶子节点恰好有两个儿子。这棵树就叫 kruskal 重构树。
+不难发现，在进行 $n-1$ 轮之后我们得到了一棵恰有 $n$ 个叶子的二叉树，同时每个非叶子节点恰好有两个儿子。这棵树就叫 Kruskal 重构树。
举个例子：
-这张图的 kruskal 重构树如下：
+这张图的 Kruskal 重构树如下：
### 性质
-不难发现，最小生成树上两个点之间的简单路径上边权最大值 = kruskal 重构树上两点之间的 LCA 的权值。
+不难发现，最小生成树上两个点之间的简单路径上边权最大值 = Kruskal 重构树上两点之间的 LCA 的权值。
-也就是说，到点 $x$ 的简单路径上边权最大值 $\leq val$ 的所有点 $y$ 均在 kruskal 重构树上的某一棵子树内，且恰好为该子树的所有叶子节点。
+也就是说，到点 $x$ 的简单路径上边权最大值 $\leq val$ 的所有点 $y$ 均在 Kruskal 重构树上的某一棵子树内，且恰好为该子树的所有叶子节点。
-我们在 kruskal 重构树上找到 $x$ 到根的路径上权值 $\leq val$ 的最浅的节点。显然这就是所有满足条件的节点所在的子树的根节点。
+我们在 Kruskal 重构树上找到 $x$ 到根的路径上权值 $\leq val$ 的最浅的节点。显然这就是所有满足条件的节点所在的子树的根节点。
??? note "[「LOJ 137」最小瓶颈路 加强版](https://loj.ac/problem/137)"
我们构造出来根据海拔的最大生成树。显然每次询问可以到达的节点是在最小生成树和询问点的最小边权 $\geq p$ 的节点。
- 根据 kruskal 重构树的性质，这些节点满足均在一棵子树内同时为其所有叶子节点。
+ 根据 Kruskal 重构树的性质，这些节点满足均在一棵子树内同时为其所有叶子节点。
- 也就是说，我们只需要求出 kruskal 重构树上每一棵子树叶子的权值 min 就可以支持子树询问。
+ 也就是说，我们只需要求出 Kruskal 重构树上每一棵子树叶子的权值 min 就可以支持子树询问。
- 询问的根节点可以使用 kruskal 重构树上倍增的方式求出。
+ 询问的根节点可以使用 Kruskal 重构树上倍增的方式求出。
时间复杂度 $O((n+m+Q) \log n)$
OSDN Git Service
