+本页面将简要介绍二分查找，由二分法衍生的三分法以及二分答案。
+
## 二分法
-### 二分查找
+### 简介
+
+二分查找（英语：binary search），也称折半搜索（英语：half-interval search）、对数搜索（英语：logarithmic search），是用来在一个有序数组中查找某一元素的算法。
-二分搜索，也称折半搜索、二分查找，是用来在一个有序数组中查找某一元素的算法。
+### 工作原理
以在一个升序数组中查找一个数为例。
-它每次考察数组当前部分的中间元素，如果中间元素刚好是要找的，就结束搜索过程；如果中间元素小于所查找的值，那么左侧的只会更小，不会有所查找的元素，只需要到右侧去找就好了；如果中间元素大于所查找的值，同理，右侧的只会更大而不会有所查找的元素，所以只需要到左侧去找。
+它每次考察数组当前部分的中间元素，如果中间元素刚好是要找的，就结束搜索过程；如果中间元素小于所查找的值，那么左侧的只会更小，不会有所查找的元素，只需到右侧查找；如果中间元素大于所查找的值同理，只需到左侧查找。
+
+### 性质
+
+#### 时间复杂度
+
+二分查找的最优时间复杂度为$O(1)$。
-在二分搜索过程中，每次都把查询的区间减半，因此对于一个长度为 $n$ 的数组，至多会进行 $O(\log n)$ 次查找。
+二分查找的平均时间复杂度和最坏时间复杂度均为$O(\log n)$。因为在二分搜索过程中，算法每次都把查询的区间减半，所以对于一个长度为 $n$ 的数组，至多会进行 $O(\log n)$ 次查找。
+
+#### 空间复杂度
+
+迭代版本的二分查找的空间复杂度为$O(1)$。
+
+递归（无尾调用消除）版本的二分查找的空间复杂度为$O(\log n)$。
+
+### 代码实现
```cpp
int binary_search(int start, int end, int key) {
}
```
-??? note
+???+note
对于 $n$ 是有符号数的情况，当你可以保证 $n\ge 0$ 时， `n >> 1` 比 `n / 2` 指令数更少。
-注意，这里的有序是广义的有序，如果一个数组中的左侧或者右侧都满足某一种条件，而另一侧都不满足这种条件，也可以看作是一种有序（如果把满足条件看做 $1$ ，不满足看做 $0$ ，至少对于这个条件的这一维度是有序的）。换言之，二分搜索法可以用来查找满足某种条件的最大（最小）的值。
+### 最大值最小化
-如果我们要求满足某种条件的最大值的最小可能情况（最大值最小化）呢？首先的想法是从小到大枚举这个作为答案的「最大值」，然后去判断是否合法。要是这个答案是单调的就好了，那样就可以使用二分搜索法来更快地找到答案。
+注意，这里的有序是广义的有序，如果一个数组中的左侧或者右侧都满足某一种条件，而另一侧都不满足这种条件，也可以看作是一种有序（如果把满足条件看做 $1$ ，不满足看做 $0$ ，至少对于这个条件的这一维度是有序的）。换言之，二分搜索法可以用来查找满足某种条件的最大（最小）的值。
-要想使用二分搜索法来解这种「最大值最小化」的题目，需要满足以下三个条件：
+è¦\81æ±\82满足æ\9f\90ç§\8dæ\9d¡ä»¶ç\9a\84æ\9c\80大å\80¼ç\9a\84æ\9c\80å°\8få\8f¯è\83½æ\83\85å\86µï¼\88æ\9c\80大å\80¼æ\9c\80å°\8få\8c\96ï¼\89ï¼\8cé¦\96å\85\88ç\9a\84æ\83³æ³\95æ\98¯ä»\8eå°\8få\88°å¤§æ\9e\9a举è¿\99个ä½\9c为ç\94æ¡\88ç\9a\84ã\80\8cæ\9c\80大å\80¼ã\80\8dï¼\8cç\84¶å\90\8eå\8e»å\88¤æ\96æ\98¯å\90¦å\90\88æ³\95ã\80\82è\8b¥ç\94æ¡\88å\8d\95è°\83ï¼\8cå°±å\8f¯ä»¥ä½¿ç\94¨äº\8cå\88\86æ\90\9cç´¢æ³\95æ\9d¥æ\9b´å¿«å\9c°æ\89¾å\88°ç\94æ¡\88ã\80\82å\9b æ¤ï¼\8cè¦\81æ\83³ä½¿ç\94¨äº\8cå\88\86æ\90\9cç´¢æ³\95æ\9d¥è§£è¿\99ç§\8dã\80\8cæ\9c\80大å\80¼æ\9c\80å°\8få\8c\96ã\80\8dç\9a\84é¢\98ç\9b®ï¼\8cé\9c\80è¦\81满足以ä¸\8bä¸\89个æ\9d¡ä»¶ï¼\9a
1. 答案在一个固定区间内；
2. 可能查找一个符合条件的值不是很容易，但是要求能比较容易地判断某个值是否是符合条件的；
当然，最小值最大化是同理的。
-二分法把一个寻找极值的问题转化成一个判定的问题（用二分搜索来找这个极值）。类比枚举法，我们当时是枚举答案的可能情况，现在由于单调性，我们不再需要一个个枚举，利用二分的思路，就可以用更优的方法解决「最大值最小」、「最小值最大」。这种解法也成为是「二分答案」，常见于解题报告中。
-
### STL 的二分查找
-补充一个小知识点，对于一个有序的 array 你可以使用 `std::lower_bound()` 来找到第一个大于等于你的值的数， `std::upper_bound()` 来找到第一个大于你的值的数。
-
-请注意，必须是有序数组，否则答案是错误的。
+C++ 标准库中实现了查找首个不小于给定值的元素的函数 [`std::lower_bound`](https://zh.cppreference.com/w/cpp/algorithm/lower_bound)和查找首个大于给定值的元素的函数 [`std::upper_bound`](https://zh.cppreference.com/w/cpp/algorithm/upper_bound)，二者均定义于头文件 `<algorithm>` 中。
-关于具体使用方法，请参见 [STL 页面](../lang/csl/index.md) 。
+二者均采用二分实现，所以调用前必须保证元素有序。
### 二分答案
-解题的时候往往会考虑枚举答案然后检验枚举的值是否正确。如果我们把这里的枚举换成二分，就变成了“二分答案”。
+解题的时候往往会考虑枚举答案然后检验枚举的值是否正确。若满足单调性，则满足使用二分法的条件。把这里的枚举换成二分，就变成了“二分答案”。
-来看一看一道例题 [Luogu P1873 砍树](https://www.luogu.com.cn/problem/P1873) ，我们可以在 1 到 1000000000（10 亿）中枚举答案，但是这种朴素写法肯定拿不到满分，因为从 1 跑到 10 亿太耗时间。我们可以对答案进行 1 到 10 亿的二分，其中，每次都对其进行检查可行性（一般都是使用贪心法）。 **这就是二分答案。**
+???+note "[Luogu P1873 砍树](https://www.luogu.com.cn/problem/P1873)"
+ 伐木工人米尔科需要砍倒M米长的木材。这是一个对米尔科来说很容易的工作，因为他有一个漂亮的新伐木机，可以像野火一样砍倒森林。不过，米尔科只被允许砍倒单行树木。
-下面就是例题的参考答案。
+ 米尔科的伐木机工作过程如下：米尔科设置一个高度参数H（米），伐木机升起一个巨大的锯片到高度H，并锯掉所有的树比H高的部分（当然，树木不高于H米的部分保持不变）。米尔科就行到树木被锯下的部分。
-```cpp
-int a[1000005];
-int n, m;
-bool check(int k) { // 检查可行性，k为锯片高度
- long long sum = 0;
- for (int i = 1; i <= n; i++) // 检查每一棵树
- if (a[i] > k) // 如果树高于锯片高度
- sum += (long long)(a[i] - k); // 累加树木长度
- return sum >= m; // 如果满足最少长度代表可行
-}
-int find() {
- int l = 1, r = 1000000001; // 因为是左闭右开的，所以10亿要加1
- while (l + 1 < r) { // 如果两点不相邻
- int mid = (l + r) / 2; // 取中间值
- if (check(mid)) // 如果可行
- l = mid; // 升高锯片高度
- else
- r = mid; // 否则降低锯片高度
- }
- return l; // 返回左边值
-}
-int main() {
- cin >> n >> m;
- for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
- cout << find();
- return 0;
-}
-```
+ 例如，如果一行树的高度分别为20，15，10和17，米尔科把锯片升到15米的高度，切割后树木剩下的高度将是15，15，10和15，而米尔科将从第1棵树得到5米，从第4棵树得到2米，共得到7米木材。
-看完了上面的代码，你肯定会有两个疑问：
+ 米尔科非常关注生态保护，所以他不会砍掉过多的木材。这正是他为什么尽可能高地设定伐木机锯片的原因。帮助米尔科找到伐木机锯片的最大的整数高度H，使得他能得到木材至少为M米。换句话说，如果再升高1米，则他将得不到M米木材。
-1. 为何搜索区间是左闭右开的？
+??? note "解题思路"
+ 我们可以在 1 到 1,000,000,000（10 亿）中枚举答案，但是这种朴素写法肯定拿不到满分，因为从 1 跑到 10 亿太耗时间。我们可以对答案进行 1 到 10 亿的二分，然后，每次都对其进行检查可行性（一般都是使用贪心法）。 **这就是二分答案。**
- 因为搜到最后，会这样（以合法的最大值为例）：
+??? note "参考代码"
+ ```cpp
+ int a[1000005];
+ int n, m;
+ bool check(int k) { // 检查可行性，k为锯片高度
+ long long sum = 0;
+ for (int i = 1; i <= n; i++) // 检查每一棵树
+ if (a[i] > k) // 如果树高于锯片高度
+ sum += (long long)(a[i] - k); // 累加树木长度
+ return sum >= m; // 如果满足最少长度代表可行
+ }
+
+ int find() {
+ int l = 1, r = 1000000001; // 因为是左闭右开的，所以10亿要加1
+ while (l + 1 < r) { // 如果两点不相邻
+ int mid = (l + r) / 2; // 取中间值
+ if (check(mid)) // 如果可行
+ l = mid; // 升高锯片高度
+ else
+ r = mid; // 否则降低锯片高度
+ }
+ return l; // 返回左边值
+ }
+
+ int main() {
+ cin >> n >> m;
+ for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
+ cout << find();
+ return 0;
+ }
+ ```
+
+ 看完了上面的代码，你肯定会有两个疑问：
+
+ 1. 为何搜索区间是左闭右开的？
- 
+ 因为搜到最后，会这样（以合法的最大值为例）：
- 然后会
+ 
- 
+ 然后会
- 合法的最小值恰恰相反。
+ 
-2. 为何返回左边值？
+ 合法的最小值恰恰相反。
- 如上图
+ 2. 为何返回左边值？
+
+ 同上。
## 三分法
+### 简介
+
+三分法可以用来查找凸函数的最大（小）值。
+
+画一下图好理解一些（图待补）
+
+- 如果 `lmid` 和 `rmid` 在最大（小）值的同一侧：由于单调性，一定是二者中较大（小）的那个离最值近一些，较远的那个点对应的区间不可能包含最值，所以可以舍弃。
+- 如果在两侧：由于最值在二者中间，我们舍弃两侧的一个区间后，也不会影响最值，所以可以舍弃。
+
+### 代码实现
+
```cpp
lmid = left + (right - left >> 1);
rmid = lmid + (right - lmid >> 1); // 对右侧区间取半
left = lmid;
```
-三分法可以用来查找凸函数的最大（小）值。
-
-画一下图好理解一些（图待补）
-
-- 如果 `lmid` 和 `rmid` 在最大（小）值的同一侧：
- 那么由于单调性，一定是二者中较大（小）的那个离最值近一些，较远的那个点对应的区间不可能包含最值，所以可以舍弃。
-- 如果在两侧：
- 由于最值在二者中间，我们舍弃两侧的一个区间后，也不会影响最值，所以可以舍弃。
-
## 分数规划
-分数规划是这样一类问题，每个物品有两个属性 $c_i$ ， $d_i$ ，要求通过某种方式选出若干个，使得 $\frac{\sum{c_i}}{\sum{d_i}}$ 最大或最小。
+参见：[分数规划](../misc/frac-programming.md)
+
+分数规划通常描述为下列问题：每个物品有两个属性 $c_i$ ， $d_i$ ，要求通过某种方式选出若干个，使得 $\frac{\sum{c_i}}{\sum{d_i}}$ 最大或最小。
-经典的例子有 最优比率环、最优比率生成树 等等。
+经典的例子有最优比率环、最优比率生成树等等。
-分数规划可以用二分法来解决，详情参见 [分数规划](../misc/frac-programming.md) 页面。
+分数规划可以用二分法来解决。
OSDN Git Service
