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+你有 $n$ 个任务，要求你找到一个代价最小的的顺序执行他们。第 $i$ 个任务花费的时间是 $t_i$，而第 $i$ 个任务等待 $t$ 的时间会花费 $f_i(t)$ 的代价。\r
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+形式化地说，给出 $n$ 个函数 $f_i$ 和 $n$ 个数 $t_i$，求一个排列 $p$，最小化\r
+$$\r
+F(p)=\sum_{i=1}^nf_{p_i}\left(\sum_{j=1}^{i-1}t_{p_j}\right)\r
+$$\r
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+## 特殊的代价函数\r
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+### 线性代价函数\r
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+首先我们考虑所有的函数是线性的函数，即 $f_i(x)=c_ix+d_i$，其中 $c_i$ 是非负整数。显然我们可以事先把常数项加起来，因此函数就转化为了 $f_i(x)=c_ix$ 的形式。\r
+\r
+考虑两个排列 $p$ 和 $p'$ ，其中 $p'$ 是把 $p$ 的第 $i$ 个位置上的数和 $i+1$ 个位置上的数交换得到的排列。则\r
+$$\r
+\begin{split}\r
+F(p')-F(p)&=c_{p'_i}\sum_{j=1}^{i-1}t_{p'_j}+c_{p'_{i+1}}\sum_{j=1}^{i}t_{p'_j}\r
+-\left(c_{p_i}\sum_{j=1}^{i-1}t_{p_j}+c_{p_{i+1}}\sum_{j=1}^{i}t_{p_j}\right)\\\r
+&=c_{p_i}t_{p_{i+1}}-c_{p_{i+1}}t_{p_i}\r
+\end{split}\r
+$$\r
+于是我们使用如果 $c_{p_i}t_{p_{i+1}}-c_{p_{i+1}}t_{p_i}>0$ 就交换的策略做一下排序就可以了。写成 $\dfrac{c_{p_i}}{t_{p_i}}>\dfrac{c_{p_{i+1}}}{t_{p_{i+1}}}$ 的形式，就可以理解为将排列按 $\dfrac{c_i}{t_i}$ 升序排序。\r
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+处理这个问题，我们的思路是考虑微扰后的变换情况，贪心地选取最优解。\r
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+### 指数代价函数\r
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+考虑代价函数的形式为 $f_i(x)=c_ie^{ax}$，其中 $c_i\ge 0,a>0$。\r
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+我们沿用之前的思路，考虑将 $i$ 和 $i+1$ 的位置上的数交换引起的代价变化。最终得到的算法是将排列按照 $\dfrac{1-e^{at_i}}{c_i}$ 升序排序。\r
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+### 相同的单增函数\r
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+我们考虑所有的 $f_i(x)$ 是同一个单增函数。那么显然我们将排列按照 $t_i$ 升序排序即可。\r
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+## Livshits-Kladov 定理\r
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+Livshits-Kladov 定理成立，当且仅当代价函数是以下三种情况：\r
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+- 线性函数： $f_i(t) = c_it + d_i$，其中 $c_i\ge 0$； \r
+- 指数函数： $f_i(t) = c_i e^{a t} + d_i$，其中 $c_i,a>0$；\r
+- 相同的单增函数： $f_i(t) = \phi(t)$，其中 $\phi(t)$ 是一个单增函数。\r
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+定理是在假设代价函数足够平滑（存在三阶导数）的条件下证明的。在这三种情况下，问题的最优解可以通过简单的排序在 $O(n\log_2n)$ 的时间内解决。\r
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+**本页面主要译自博文[Задача Джонсона с одним станком](http://e-maxx.ru/algo/johnson_problem_1)与其英文翻译版[Scheduling jobs on one machine](https://cp-algorithms.com/schedules/schedule_one_machine.html)。其中俄文版版权协议为 Public Domain + Leave a Link；英文版版权协议为 CC-BY-SA 4.0。**\r
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