- 在看这篇文章前请先看 [ 网络流-最大流 ](https://oi-wiki.org//graph/flow/max-flow/) 这篇 wiki 的定义部分
- 目前只有EK算法，欢迎补充
-## 概念
++在看这篇文章前请先看 [网络流简介](https://oi-wiki.org/graph/flow/) 这篇 wiki 的定义部分
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+## 费用流
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+给定一个网络 $G=(V,E)$，每条边除了有容量限制 $c(u,v)$，还有一个单位限制 $w(u,v)$
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+当 $(u,v)$ 的流量为 $f(u,v)$ 时，需要花费 $f(u,v)\times w(u,v)$.
+
+$w$ 也满足斜对称性，即 $w(u,v)=-w(v,u)$.
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+则该网络中总花费最小的最大流称为**最小费用最大流**，即在最大化 $\sum_{(s,v)\in E}f(s,v)$ 的前提下最小化 $\sum_{(u,v)\in E}f(u,v)\times w(u,v)$.
- ### Edmonds-Karp 算法
+ ### 费用
- 在 EK 算法求解最大流的基础上，把**用 BFS 求解任意增广路**改为**用 SPFA 求解单位费用之和最小的增广路**即可
+ 我们定义一条边的费用 $w(u,v)$ 表示边 $(u,v)$ 上单位流量的费用。也就是说，当边 $(u,v)$ 的流量为 $f(u,v)$ 时，需要花费 $f(u,v)\times w(u,v)$ 的费用。
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+ ### 最小费用最大流
+
+ 网络流图中，花费最小的最大流被称为**最小费用最大流**，这也是接下来我们要研究的对象。
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++## MCMF 算法
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++在最大流的 EK 算法求解最大流的基础上，把**用 BFS 求解任意增广路**改为**用 SPFA 求解单位费用之和最小的增广路**即可
+
+相当于把 $w(u,v)$ 作为边权，在残存网络上求最短路
+
+#### 核心代码
+
+```cpp
+struct qxx{int nex,t,v,c;};
+qxx e[M];
+int h[N],cnt=1;
+void add_path(int f,int t,int v,int c){e[++cnt]=(qxx){h[f],t,v,c},h[f]=cnt;}
+void add_flow(int f,int t,int v,int c){add_path(f,t,v,c);add_path(t,f,0,-c);}
+
+int dis[N],pre[N],incf[N];
+bool vis[N];
+bool spfa(){
+ memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
+ queue<int> q;
+ q.push(s),dis[s]=0,incf[s]=INF,incf[t]=0;
+ while(q.size()){
+ int u=q.front();q.pop();
+ vis[u]=0;
+ for(int i=h[u];i;i=e[i].nex){const int &v=e[i].t,&w=e[i].v,&c=e[i].c;
+ if(!w||dis[v]<=dis[u]+c)continue;
+ dis[v]=dis[u]+c,incf[v]=min(w,incf[u]),pre[v]=i;
+ if(!vis[v])q.push(v),vis[v]=1;
+ }
+ }
+ return incf[t];
+}
+int maxflow,mincost;
+void update(){
+ maxflow+=incf[t];
+ for(int u=t;u!=s;u=e[pre[u]^1].t){
+ e[pre[u]].v-=incf[t],e[pre[u]^1].v+=incf[t];
+ mincost+=incf[t]*e[pre[u]].c;
+ }
+}
+// 调用：while(spfa())update();
+```
+
-## 求解
++## 类Dinic算法
+
+ 我们可以在 $\text{Dinic}$ 算法的基础上进行改进，把 $\text{BFS}$ 求分层图改为用 $\text{SPFA}$（由于有负权边，所以不能直接用 $\text{Dijkstra}$）来求一条单位费用之和最小的路径，也就是把 $w(u,v)$ 当做边权然后在残量网络上求最短路，当然在 $\text{DFS}$ 中也要略作修改。这样就可以求得网络流图的**最小费用最大流**了。
+
+ 如何建**反向边**？对于一条边 $(u,v,w,c)$（其中 $w$ 和 $c$ 分别为容量和费用），我们建立正向边 $(u,v,w,c)$ 和反向边 $(v,u,0,-c)$（其中 $-c$ 是使得从反向边经过时退回原来的费用）。
+
+ **优化**：如果你是“关于 $\text{SPFA}$，它死了”言论的追随者，那么你可以使用 $\text{Primal-Dual}$ 原始对偶算法将 $\text{SPFA}$ 改成 $\text{Dijkstra}$！
+
+ **时间复杂度**：可以证明上界为 $O(nmf)$，其中 $f$ 表示流量。
+
+ ------
+
-## 代码
++### 代码
+
+ ??? " 最小费用最大流 "
+
+ ```cpp
+ #include <cstdio>
+ #include <cstring>
+ #include <algorithm>
+ #include <queue>
+
+ const int N=5e3+5,M=1e5+5;
+ const int INF=0x3f3f3f3f;
+ int n,m,tot=1,lnk[N],cur[N],ter[M],nxt[M],cap[M],cost[M],dis[N],ret;
+ bool vis[N];
+
+ void add(int u,int v,int w,int c) {
+ ter[++tot]=v,nxt[tot]=lnk[u],lnk[u]=tot,cap[tot]=w,cost[tot]=c;
+ }
+ void addedge(int u,int v,int w,int c) {
+ add(u,v,w,c),add(v,u,0,-c);
+ }
+ bool spfa(int s,int t) {
+ memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
+ memcpy(cur,lnk,sizeof(lnk));
+ std::queue<int> q;
+ q.push(s),dis[s]=0,vis[s]=1;
+ while(!q.empty()) {
+ int u=q.front(); q.pop(),vis[u]=0;
+ for(int i=lnk[u];i;i=nxt[i]) {
+ int v=ter[i];
+ if(cap[i]&&dis[v]>dis[u]+cost[i]) {
+ dis[v]=dis[u]+cost[i];
+ if(!vis[v]) q.push(v),vis[v]=1;
+ }
+ }
+ }
+ return dis[t]!=INF;
+ }
+ int dfs(int u,int t,int flow) {
+ if(u==t) return flow;
+ vis[u]=1;
+ int ans=0;
+ for(int &i=cur[u];i&&ans<flow;i=nxt[i]) {
+ int v=ter[i];
+ if(!vis[v]&&cap[i]&&dis[v]==dis[u]+cost[i]) {
+ int x=dfs(v,t,std::min(cap[i],flow-ans));
+ if(x) ret+=x*cost[i],cap[i]-=x,cap[i^1]+=x,ans+=x;
+ }
+ }
+ vis[u]=0;
+ return ans;
+ }
+ int mcmf(int s,int t) {
+ int ans=0;
+ while(spfa(s,t)) {
+ int x;
+ while((x=dfs(s,t,INF))) ans+=x;
+ }
+ return ans;
+ }
+ int main() {
+ int s,t;
+ scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t);
+ while(m--) {
+ int u,v,w,c;
+ scanf("%d%d%d%d",&u,&v,&w,&c);
+ addedge(u,v,w,c);
+ }
+ int ans=mcmf(s,t);
+ printf("%d %d\n",ans,ret);
+ return 0;
+ }
+ ```
+
+ ------
+
+ ## 习题
+
+ - [「Luogu 3381」【模板】最小费用最大流](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3381)
+ - [「Luogu 4452」航班安排](https://www.luogu.org/problemnew/show/P4452)
+ - [「SDOI 2009」晨跑](https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1877)
+ - [「SCOI 2007」修车](https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1070)
+ - [「HAOI 2010」订货](https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2424)
-- [「NOI 2012」美食节](https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2879)
++- [「NOI 2012」美食节](https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2879)
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