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diff --git a/docs/graph/shortest-path.md b/docs/graph/shortest-path.md
index 7922762..41151ef 100644 (file)
--- a/docs/graph/shortest-path.md
+++ b/docs/graph/shortest-path.md
@@ -50,9 +50,9 @@ for (k = 1; k <= n; k++) {
 因为第一维对结果无影响，我们可以发现数组的第一维是可以省略的，于是可以直接改成 `f[x][y] = min(f[x][y], f[x][k]+f[k][y])` 。
 
 ???+ note "证明第一位对结果"
-    我们注意到如果放在一个给定第一维 `k` 二维数组中，`f[i][k]` 与 `f[k][j]` 在某一行和某一列。而 `f[i][j]` 则是该行和该列的交叉点上的元素。
+    我们注意到如果放在一个给定第一维 `k` 二维数组中， `f[i][k]` 与 `f[k][j]` 在某一行和某一列。而 `f[i][j]` 则是该行和该列的交叉点上的元素。
     
-    现在我们需要证明将 `f[k][i][j]` 直接在原地更改也不会更改它的结果：我们注意到 `f[k][i][j]` 的涵义是第一维为 `k-1` 这一行和这一列的所有元素的最小值，包含了 `f[k-1][i][j]`，那么我在原地进行更改也不会改变最小值的值，因为如果将该三维矩阵压缩为二维，则所求结果 `f[i][j]` 一开始即为原 `f[k-1][i][j]` 的值，最后依然会成为该行和该列的最小值。
+    现在我们需要证明将 `f[k][i][j]` 直接在原地更改也不会更改它的结果：我们注意到 `f[k][i][j]` 的涵义是第一维为 `k-1` 这一行和这一列的所有元素的最小值，包含了 `f[k-1][i][j]` ，那么我在原地进行更改也不会改变最小值的值，因为如果将该三维矩阵压缩为二维，则所求结果 `f[i][j]` 一开始即为原 `f[k-1][i][j]` 的值，最后依然会成为该行和该列的最小值。
     
     故可以压缩。
 

diff --git a/docs/misc/rand-technique.md b/docs/misc/rand-technique.md
index 96b1476..41b550e 100644 (file)
--- a/docs/misc/rand-technique.md
+++ b/docs/misc/rand-technique.md
@@ -458,9 +458,9 @@ $$
     - 坏事件中至少一者发生的概率， **不小于** 每一个的发生概率之和，减掉每两个同时发生的概率之和。
     - 坏事件中至少一者发生的概率， **不超过** 每一个的发生概率之和，减掉每两个同时发生的概率之和，加上每三个同时发生的概率之和。
     - ……
-    - 随着层数越来越多，交替出现的上界和下界也越来越紧。这一系列结论形式上类似容斥原理，证明过程也和容斥类似，这里略去。
+    -   随着层数越来越多，交替出现的上界和下界也越来越紧。这一系列结论形式上类似容斥原理，证明过程也和容斥类似，这里略去。
 
-     **自然常数的使用** ： $\Big(1-\dfrac 1n\Big)^n\leq \dfrac 1e,\forall n\geq1$ 
+         **自然常数的使用** ： $\Big(1-\dfrac 1n\Big)^n\leq \dfrac 1e,\forall n\geq1$ 
 
 - 左式关于 $n\geq 1$ 单调递增且在 $+\infty$ 处的极限是 $\dfrac 1e$ ，因此有这个结论。