Update fermat.md

增加一种证明方式

diff --git a/docs/math/fermat.md b/docs/math/fermat.md
index 7dd123a..d4d3c11 100644 (file)
--- a/docs/math/fermat.md
+++ b/docs/math/fermat.md
@@ -32,6 +32,16 @@ $$
 
 证毕。
 
+也可用归纳法证明：
+
+显然 $1^p\equiv 1\pmod p$，假设 $a^p\equiv a\pmod p$ 成立，那么通过二项式定理有
+
+$$
+(a+1)^p=a^p+\binom{p}{1}a^{p-1}+\binom{p}{2}a^{p-2}+\cdots +\binom{p}{p-1}a+1
+$$
+
+因为 $\binom{p}{k}=\frac{p(p-1)\cdots (p-k+1)}{k!}$ 对于 $1\leq k\leq p-1$ 成立，在模 $p$ 意义下 $\binom{p}{1}\equiv \binom{p}{2}\equiv \cdots \equiv \binom{p}{p-1}\equiv 0\pmod p$，那么 $(a+1)^p \equiv a^p +1\pmod p$，将 $a^p\equiv a\pmod p$ 带入得 $(a+1)^p\equiv a+1\pmod p$ 得证。
+
 ## 欧拉定理
 
 在了解欧拉定理（Euler's theorem）之前，请先了解 [欧拉函数](./euler.md) 。定理内容如下：