假设此时 $pat$ 向下滑动的 $k$ 个字符（也即 $pat$ 末尾端的 $subpat$ 与其最右边的合理重现的距离），这样我们的注意力应该沿着 $string$ 向后滑动 $k+m$ 个字符，这段距离我们称之为 $delta_2(j)$ ：
-假定 $rpr(j)$ 为 $subpat=pat[j+1\dots patlen-1]$ 在 $pat[j]$ 最右边合理重现的位置（这里只给出简单定义，在下文的算法设计章节里会有更精确的讨论），那么显然 $k=j-rpr(j),\ m=patlen-1-j$ 。
+假定 $rpr(j)$ 为 $subpat=pat[j+1\dots patlastpos]$ 在 $pat[j]$ 上失配时的最右边合理重现的位置，$rpr(j) \lt j$（这里只给出简单定义，在下文的算法设计章节里会有更精确的讨论），那么显然 $k=j-rpr(j),\ m=patlastpos-j$ 。
所以有：
\end{aligned}
$$
-显然直观上看，此时根据 **观察 3(b)** ，将 $pat$ 向左移动 $k=5$ 个字符，使得后缀 $\texttt{AT}$ 对齐，这种滑动可以获得 $string$ 指针最大的滑动距离，此时 $delta_2=k+patlen-1-j=5+7-1-4=7$ ，即 $string$ 上指针向下滑动 7个字符。
+显然直观上看，此时根据 **观察 3(b)** ，将 $pat$ 向左移动 $k=5$ 个字符，使得后缀 $\texttt{AT}$ 对齐，这种滑动可以获得 $string$ 指针最大的滑动距离，此时 $delta_2=k+patlastpos-j=5+6-4=7$ ，即 $string$ 上指针向下滑动 7 个字符。
而从形式化逻辑看，此时， $delta_1=7-1-2=4,\ delta_2=5, \max(delta_1,delta_2)= 7$ ，
这样从形式逻辑上支持了进行 **观察 3(b)** 的跳转：
-
$$
\begin{aligned}
\textit{pat}:\qquad\qquad &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \;\, \texttt{AT-THAT} \\
也就是说需要找到一个最好的 $k$ , 使得 $pat[k\dots k+patlastpos-j-1]=pat[j+1\dots patlastpos]$ ，另外要考虑两种特殊情况：
-1. 当 $k<0$ 时，相当于在 $pat$ 前面补充了一段虚拟的前缀，实际上也符合 $delta_2$ 跳转的原理
-
+1. 当 $k<0$ 时，相当于在 $pat$ 前面补充了一段虚拟的前缀，实际上也符合 $delta_2$ 跳转的原理。
2. 当 $k>0$ 时，如果 $pat[k-1]=pat[j]$ ，则这个 $pat[k\dots k+patlastpos-j-1]$ 不能作为 $subpat$ 的合理重现。
原因是 $pat[j]$ 本身是失配字符，所以 $pat$ 向下滑动 $k$ 个字符后，在后缀匹配过程中仍然会在 $pat[k-1]$ 处失配。
-特别地，考虑到 $delta_2(patlastpos)= 0$ ，所以 $rpr(patlastpos) = patlastpos$
+还要注意两个限制条件：
+1. $k \lt j$ 。因为当 $k=j$ 时，有 $pat[k]=pat[j]$ ， 在 $pat[j]$ 上失配的字符也会在 $pat[k]$ 上失配。
+2. 考虑到 $delta_2(patlastpos)= 0$ ，所以规定 $rpr(patlastpos) = patlastpos$ 。
由于理解 $rpr(j)$ 是实现 BoyerMoore 算法的核心，所以我们使用如下两个例子进行详细说明：
对于 $rpr(6)$ ， $subpat$ 为 $\texttt{BC}$ ，又因为 $string[0]=string[6]$ ，即 $string[0]$ 等于失配字符 $string[6]$ ，所以 $string[0\dots 2]$ 并不是符合条件的 $subpat$ 的合理重现，所以在最右边的合理重现是 $\texttt{[(BC)]ABCXXXABC}$ ，所以 $rpr(j)=-2$ ；
-对于 $rpr(7)$ ， $subpat$ 为 $\texttt{C}$ ，同理又因为 $string[7]=string[1]$ ，所以 $string[1\dots 2]$ 并不是符合条件的 subpat 的合理重现，在最右边的合理重现是 $\texttt{[(C)]ABCXXXABC}$ ，所以 $rpr(j)=-1$ ；
+对于 $rpr(7)$ ， $subpat$ 为 $\texttt{C}$ ，同理又因为 $string[7]=string[1]$ ，所以 $string[1\dots 2]$ 并不是符合条件的 $subpat$ 的合理重现，在最右边的合理重现是 $\texttt{[(C)]ABCXXXABC}$ ，所以 $rpr(j)=-1$ ；
对于 $rpr(8)$ ，根据 $delta_2$ 定义， $rpr(patlastpos)=patlastpos$ ，得到 $rpr(8)=8$ 。
\end{array}
$$
+其中 $large$ 起到多重作用，一是类似后面介绍的Horspool算法进行快速的坏字符跳转，二是辅助检测字符串搜索是否完成。
+
经过改进，比起原算法，在做 **观察 1** 跳转时不必每次进行 $delta_2$ 的多余计算，使得在通常字符集下搜索字符串的性能有了明显的提升。
## $delta_2$ 构建细节
\end{aligned}
$$
- $delta_2(3)$ 的重现 $\texttt{[(XX)ABC]XXXABC}$ ，subpat $\texttt{XXABC}$ 的后缀与 pat 前缀中，有相等的，是 $\texttt{ABC}$ 。
+ $delta_2(3)$ 的重现 $\texttt{[(XX)ABC]XXXABC}$ ，$subpat$ $\texttt{XXABC}$ 的后缀与 pat 前缀中，有相等的，是 $\texttt{ABC}$ 。
*说到这个拗口的前缀后缀相等，此时看过之前《前缀函数与 KMP 算法》的小伙伴们可能已经有所悟了，*
原理很简单，假定一个 $pat$ ，它是某个子串 $U$ 重复 n 次构成的字符串 $UUUU\dots$ 的前缀，那么我们称 $U$ 为 $pat$ 的一个周期。
-比如， $pat:$ $\texttt{ABCABCAB}$ ，是 $\texttt{ABC}$ 的重复 $\texttt{ABCABCABC}$ 的前缀，所以 $\texttt{ABC}$ 就是这个 $pat$ 的周期，当然其实 $\texttt{ABCABC}\dots$ 也是 $pat$ 的周期，但我们只关注最短的那个。
+比如， $pat:$ $\texttt{ABCABCAB}$ ，是 $\texttt{ABC}$ 的重复 $\texttt{ABCABCABC}$ 的前缀，所以 $\texttt{ABC}$ 的长度 $3$ 就是这个 $pat$ 的周期长度，也即 $pat$ 满足 $pat[i] = pat[i+3]$ 。
+
+当然其实 $\texttt{ABCABC}\dots$ 也是 $pat$ 的周期，但我们只关注最短的那个。
事实上，广义地讲， $pat$ 至少拥有一个长度为它自身的周期。
pat_bytes: &'a [u8],
delta_1: [usize; 256],
delta_2: Vec<usize>,
- k: usize
+ k: usize // pat的最短周期长度
}
impl<'a> BMPattern<'a> {
let mut l = 0;
while string_index < stringlen {
+ let old_string_index = string_index;
+
while string_index < stringlen {
string_index += self.delta0(string_bytes[string_index]);
}
}
string_index -= LARGE;
+
+ // 如果string_index发生移动，意味着自从上次成功匹配后发生了至少一次的失败匹配。
+ // 此时需要将Galil规则的二次匹配的偏移量归零。
+ if old_string_index < string_index {
+ l = 0;
+ }
+
pat_index = pat_last_pos;
+
while pat_index > l && string_bytes[string_index] == self.pat_bytes[pat_index] {
string_index -= 1;
pat_index -= 1;
从实践的角度上说，理论上的最坏情况并不容易影响性能表现，哪怕是很小的只有 4 的字符集的随机文本测试下这种最坏情况的影响也小到难以观察。
-也因此如果没有很好地设计，使用 Galil 法则会拖累一点平均的性能表现，但对于一些极端特殊的 $pat$ 和 $string$ 比如例子中的： $pat$ ： $\texttt{AAA}$ ， $string$ ： $\texttt{AAAAA}\dots$ ，Gulil 规则的应用确实会使得性能表现提高数倍。
+也因此如果没有很好地设计，使用 Galil 法则会拖累一点平均的性能表现，但对于一些极端特殊的 $pat$ 和 $string$ 比如例子中的： $pat$ ： $\texttt{AAA}$ ， $string$ ： $\texttt{AAAAA}\dots$ ，Galil 规则的应用确实会使得性能表现提高数倍。
## 实践及后续
### Simplified Boyer-Moore 算法
-BM 算法最复杂的地方就在于 $delta_2$ 表（有一个通俗的名字，好后缀表）的构建，而在在实践中发现，一般的字符集上的匹配性能主要依靠 $delta_1$ 表（通俗的名字是坏字符表），于是出现了仅仅使用 $delta_1$ 表的简化版 BM 算法，通常表现和完整版差距很小。
+BM 算法最复杂的地方就在于 $delta_2$ 表（通俗的名字是好后缀表）的构建，而实践中发现，在一般的字符集上的匹配性能主要依靠 $delta_1$ 表（通俗的名字是坏字符表），于是出现了仅仅使用 $delta_1$ 表的简化版 BM 算法，通常表现和完整版差距很小。
### Boyer-Moore-Horspol 算法
-Horspol 算法同样是基于坏字符的规则，不过是在与与 $pat$ 尾部对齐的字符上应用 $delta_1$ ，这个效果类似于前文对匹配算法的改进，所以它的通常表现优于原始 BM、和匹配算法改进后的 BM 差不多。
+Horspol 算法同样是基于坏字符的规则，不过是在与 $pat$ 尾部对齐的字符上应用 $delta_1$ ，这个效果类似于前文对匹配算法的改进，所以它的通常表现优于原始 BM 和匹配算法改进后的 BM 差不多。
```rust
pub struct HorspoolPattern<'a> {
### Boyer-Moore-Sunday 算法
-Sunday 算法同样是利用坏字符规则，只不过相比 Horspool 它更进一步，直接关注 $pat$ 尾部对齐的那个字符的下一个字符上，只不过要稍微修改一下 $delta_1$ 表，
+Sunday 算法同样是利用坏字符规则，只不过相比 Horspool 它更进一步，直接关注 $pat$ 尾部对齐的那个字符的下一个字符。
-使得它相当于在 $patlen+1$ 长度的 $pat$ 上构建的。
+实现它只需要稍微修改一下 $delta_1$ 表，使得它相当于在 $patlen+1$ 长度的 $pat$ 上进行构建。
Sunday 算法通常用作一般情况下实现最简单而且平均表现最好之一的实用算法，通常表现比 Horspool、BM 都要快一点。
2. 如果任何一个阶段发生不匹配，就进入跳转阶段；
-3. 在跳转阶段，首先观察 $patlastpos$ 位置的下一个字符是否在 $pat$ 中，如果不在，直接向右滑动 $patlen+1$ ，这是 Sunday 算法的最大利用
+3. 在跳转阶段，首先观察 $patlastpos$ 位置的下一个字符是否在 $pat$ 中，如果不在，直接向右滑动 $patlen+1$ ，这是 Sunday 算法的最大利用；
如果这个字符在 $pat$ 中，对 $patlastpos$ 处的字符利用 $delta_1$ 进行 Horspool 跳转。
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