### 例子
-下面放一张 GIF 帮助大家理解：
-
-对字符串 `i` `he` `his` `she` `hers` 组成的字典树构建 fail 指针：
+下面放一张 GIF 帮助大家理解。对字符串 `i` `he` `his` `she` `hers` 组成的字典树构建 fail 指针：
1. 黄色结点：当前的结点 $u$。
2. 绿色结点：表示已经 BFS 遍历完毕的结点，
-找到 6 的父结点 5，$fail[5]=10$。然而 10 结点没有字母`s`连出的边；继续跳到 10 的 fail 指针，$fail[10]=0$。发现 0 结点有字母`s`连出的边，指向 7 结点；所以 $fail[6]=7$。
+找到 6 的父结点 5，$fail[5]=10$。然而 10 结点没有字母`s`连出的边；继续跳到 10 的 fail 指针，$fail[10]=0$。发现 0 结点有字母`s`连出的边，指向 7 结点；所以 $fail[6]=7$。最后放一张建出来的图
+
+
## 字典树与字典图
## 多模式匹配
-接下来分析匹配函数 `query()`:
+接下来分析匹配函数 `query()`：
```cpp
int query(char *t){
return res;
}
```
-声明 u 作为字典树上当前匹配到的结点，res 即返回的答案。循环遍历匹配串，u 在字典树上跟踪当前字符。利用 fail 指针找出所有匹配的模式串，累加到答案中。然后清 0。对 $e[j]$ 取反的操作用来判断 $e[j]$ 是否等于 -1。
-
-Q- 读者可能纳闷了：你这里的 u 一直在往字典树后面走，没有跳 fail 指针啊！这和 KMP 的思想不一样啊，怎么匹配得出来啊
-
-读者表示：我 TM 一点也不纳闷 emm
+声明 $u$ 作为字典树上当前匹配到的结点，$res$ 即返回的答案。循环遍历匹配串，$u$ 在字典树上跟踪当前字符。利用 fail 指针找出所有匹配的模式串，累加到答案中。然后清 0。对 $e[j]$ 取反的操作用来判断 $e[j]$ 是否等于 -1。在上文中我们分析过，字典树的结构其实就是一个 $trans$ 函数，而构建好这个函数后，在匹配字符串的过程中，我们会舍弃部分前缀达到最低限度的匹配。fail指针则指向了更多的匹配状态。最后上一份图。对于刚才的自动机：
-<img src="https://hexo-source-1257756441.cos.ap-chengdu.myqcloud.com/exp/hrwhl2.jpg" width=200px />
-
-### Answer to Q
-
-还记得刚才的字典图吗？事实上你并不是一直在往后跳，而是在图上穿梭跳动。比如，刚才的字典图：
-
-![AC_automation_b_13.png][5]
+
我们从根结点开始尝试匹配 `ushersheishis`，那么 p 的变化将是：
-![AC_automation_gif_c.gif][6]
-
-红色结点表示 p 结点，粉色箭头表示 p 在字典图上的跳转，浅蓝色的边表示成功匹配的模式串，深蓝色的结点表示跳 fail 指针时的结点。
+
-其中的部分跳转，我们利用的就是新构建的字典图上的边，它也满足后缀相同（sher 和 her），所以自动跳转到下一个位置。
-
-综上，$fail$ 指针的意义是，在匹配串**同一个位置**失配时的跳转指针，这样就利用 fail 指针在同一位置上进行多模式匹配，匹配完了，就在字典图上自动跳转到下一位置。
+1. 红色结点： p 结点
+2. 粉色箭头： p 在自动机上的跳转，
+3. 蓝色的边：成功匹配的模式串
+4. 蓝色结点：示跳 fail 指针时的结点（状态）。
## 总结
-到此，你已经理解了整个 AC 自动机的内容。我们一句话总结 AC 自动机的运行原理：
-
-**构建字典图实现自动跳转，构建失配指针实现多模式匹配。**
+~~希望~~大家看懂了文章。其实总结一下，你只需要知道AC自动机的板子很好背就行啦。
-所以 AC 自动机到底是啥
+???+ note "模板1"
-## 模板
+ [LuoguP3808【模板】AC 自动机（简单版）](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3808)
-[LuoguP3808【模板】AC 自动机（简单版）](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3808)
+ ```cpp
+ #include<bits/stdc++.h>
+ using namespace std;
+ const int N=1e6+6;
+ int n;
-```cpp
-##include<bits/stdc++.h>
-using namespace std;
-const int N=1e6+6;
-int n;
-
-namespace AC{
- int tr[N][26],tot;
- int e[N],fail[N];
- void insert(char *s){
- int u=0;
- for(int i=1;s[i];i++){
- if(!tr[u][s[i]-'a'])tr[u][s[i]-'a']=++tot;
- u=tr[u][s[i]-'a'];
- }
- e[u]++;
- }
- queue<int> q;
- void build(){
- for(int i=0;i<26;i++)if(tr[0][i])q.push(tr[0][i]);
- while(q.size()){
- int u=q.front();q.pop();
- for(int i=0;i<26;i++){
- if(tr[u][i])fail[tr[u][i]]=tr[fail[u]][i],q.push(tr[u][i]);
- else tr[u][i]=tr[fail[u]][i];
- }
- }
- }
- int query(char *t){
- int u=0,res=0;
- for(int i=1;t[i];i++){
- u=tr[u][t[i]-'a'];// 转移
- for(int j=u;j&&e[j]!=-1;j=fail[j]){
- res+=e[j],e[j]=-1;
- }
- }
- return res;
- }
-}
-
-char s[N];
-int main(){
- scanf("%d",&n);
- for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%s",s+1),AC::insert(s);
- scanf("%s",s+1);
- AC::build();
- printf("%d",AC::query(s));
- return 0;
-}
-```
-
-## 模板 2
-
-[P3796 【模板】AC 自动机（加强版）](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3796)
-
-```cpp
-##include<bits/stdc++.h>
-using namespace std;
-const int N=156,L=1e6+6;
-namespace AC{
- const int SZ=N*80;
- int tot,tr[SZ][26];
- int fail[SZ],idx[SZ],val[SZ];
- int cnt[N];// 记录第 i 个字符串的出现次数
- void init(){
- memset(fail,0,sizeof(fail));
- memset(tr,0,sizeof(tr));
- memset(val,0,sizeof(val));
- memset(cnt,0,sizeof(cnt));
- memset(idx,0,sizeof(idx));
- tot=0;
- }
- void insert(char *s,int id){//id 表示原始字符串的编号
- int u=0;
- for(int i=1;s[i];i++){
- if(!tr[u][s[i]-'a'])tr[u][s[i]-'a']=++tot;
- u=tr[u][s[i]-'a'];
- }
- idx[u]=id;
- }
- queue<int> q;
- void build(){
- for(int i=0;i<26;i++)if(tr[0][i])q.push(tr[0][i]);
- while(q.size()){
- int u=q.front();q.pop();
- for(int i=0;i<26;i++){
- if(tr[u][i])fail[tr[u][i]]=tr[fail[u]][i],q.push(tr[u][i]);
- else tr[u][i]=tr[fail[u]][i];
- }
- }
- }
- int query(char *t){// 返回最大的出现次数
- int u=0,res=0;
- for(int i=1;t[i];i++){
- u=tr[u][t[i]-'a'];
- for(int j=u;j;j=fail[j])val[j]++;
- }
- for(int i=0;i<=tot;i++)if(idx[i])res=max(res,val[i]),cnt[idx[i]]=val[i];
- return res;
- }
-}
-int n;
-char s[N][100],t[L];
-int main(){
- while(~scanf("%d",&n)){if(n==0)break;
- AC::init();
- for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%s",s[i]+1),AC::insert(s[i],i);
- AC::build();
- scanf("%s",t+1);
- int x=AC::query(t);
- printf("%d\n",x);
- for(int i=1;i<=n;i++)if(AC::cnt[i]==x)printf("%s\n",s[i]+1);
- }
- return 0;
-}
-/*
- * BUG##1 build 的时候忘了 push(tr[u][i])
- * BUG##2 误以为倒序遍历 AC 自动机就是 BFS 的倒序，实际上不是这样
- */
+ namespace AC{
+ int tr[N][26],tot;
+ int e[N],fail[N];
+ void insert(char *s){
+ int u=0;
+ for(int i=1;s[i];i++){
+ if(!tr[u][s[i]-'a'])tr[u][s[i]-'a']=++tot;
+ u=tr[u][s[i]-'a'];
+ }
+ e[u]++;
+ }
+ queue<int> q;
+ void build(){
+ for(int i=0;i<26;i++)if(tr[0][i])q.push(tr[0][i]);
+ while(q.size()){
+ int u=q.front();q.pop();
+ for(int i=0;i<26;i++){
+ if(tr[u][i])fail[tr[u][i]]=tr[fail[u]][i],q.push(tr[u][i]);
+ else tr[u][i]=tr[fail[u]][i];
+ }
+ }
+ }
+ int query(char *t){
+ int u=0,res=0;
+ for(int i=1;t[i];i++){
+ u=tr[u][t[i]-'a'];// 转移
+ for(int j=u;j&&e[j]!=-1;j=fail[j]){
+ res+=e[j],e[j]=-1;
+ }
+ }
+ return res;
+ }
+ }
-```
+ char s[N];
+ int main(){
+ scanf("%d",&n);
+ for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%s",s+1),AC::insert(s);
+ scanf("%s",s+1);
+ AC::build();
+ printf("%d",AC::query(s));
+ return 0;
+ }
+ ```
+
+???+ note "模板2"
+
+ [P3796 【模板】AC 自动机（加强版）](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3796)
+
+ ```cpp
+ #include<bits/stdc++.h>
+ using namespace std;
+ const int N=156,L=1e6+6;
+ namespace AC{
+ const int SZ=N*80;
+ int tot,tr[SZ][26];
+ int fail[SZ],idx[SZ],val[SZ];
+ int cnt[N];// 记录第 i 个字符串的出现次数
+ void init(){
+ memset(fail,0,sizeof(fail));
+ memset(tr,0,sizeof(tr));
+ memset(val,0,sizeof(val));
+ memset(cnt,0,sizeof(cnt));
+ memset(idx,0,sizeof(idx));
+ tot=0;
+ }
+ void insert(char *s,int id){//id 表示原始字符串的编号
+ int u=0;
+ for(int i=1;s[i];i++){
+ if(!tr[u][s[i]-'a'])tr[u][s[i]-'a']=++tot;
+ u=tr[u][s[i]-'a'];
+ }
+ idx[u]=id;
+ }
+ queue<int> q;
+ void build(){
+ for(int i=0;i<26;i++)if(tr[0][i])q.push(tr[0][i]);
+ while(q.size()){
+ int u=q.front();q.pop();
+ for(int i=0;i<26;i++){
+ if(tr[u][i])fail[tr[u][i]]=tr[fail[u]][i],q.push(tr[u][i]);
+ else tr[u][i]=tr[fail[u]][i];
+ }
+ }
+ }
+ int query(char *t){// 返回最大的出现次数
+ int u=0,res=0;
+ for(int i=1;t[i];i++){
+ u=tr[u][t[i]-'a'];
+ for(int j=u;j;j=fail[j])val[j]++;
+ }
+ for(int i=0;i<=tot;i++)if(idx[i])res=max(res,val[i]),cnt[idx[i]]=val[i];
+ return res;
+ }
+ }
+ int n;
+ char s[N][100],t[L];
+ int main(){
+ while(~scanf("%d",&n)){if(n==0)break;
+ AC::init();
+ for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%s",s[i]+1),AC::insert(s[i],i);
+ AC::build();
+ scanf("%s",t+1);
+ int x=AC::query(t);
+ printf("%d\n",x);
+ for(int i=1;i<=n;i++)if(AC::cnt[i]==x)printf("%s\n",s[i]+1);
+ }
+ return 0;
+ }
+ ```
## KMP 自动机
-为了介绍 AC 自动机这种神奇的算法，先介绍自动机和 KMP 自动机。
+最后介绍自动机和 KMP 自动机，供学有余力的朋友观赏。
有限状态自动机 (DFA)：字符集，有限状态控制，初始状态，接受状态。
我们发现 $trans_{i}$ 只依赖于之前的值，所以可以跟[KMP](/string/prefix-function/##knuth-morris-pratt)一起求出来。
-时间和空间复杂度： $O(m|\Sigma|)$
-
-一些细节：走到接受状态之后立即转移到该状态的 $next$ 。
-
-## AC 自动机
-
-AC 自动机其实就是 Trie 上的自动机。
-
-注意在[BFS](/search/bfs)的同时求出 $trans$ 数组即可。
-
-AC 自动机一般用来解决多串匹配问题。
-
-注意细节：AC 自动机的时间复杂度在需要找到所有匹配位置时是 $O(|s|+m)$ ，其中 $|s|$ 表示文本串的长度， $m$ 表示模板串的总匹配次数；而只需要求是否匹配时时间复杂度为 $O(|s|)$ 。
-
-## AC 自动机的实现
-
-```cpp
-// luogu P3808
-//注：这并不是标准的AC自动机，而是trie图。标准的AC自动机实际应用并不多
-##include <bits/stdc++.h>
-
-using namespace std;
-
-class ACAM {
- private:
- struct Node {
- int ptr[26];
- int fail;
-
- int cnt;
-
- Node() : fail(0), cnt(0) { memset(ptr, 0, sizeof(ptr)); }
- } nd[1000010];
- int cnt;
-
- queue<int> q;
-
- public:
- ACAM() : cnt(0) {}
-
- void insert(const string &s) {
- int len = s.size(), now = 0;
- for (int i = 0; i < len; i++) {
- int x = s[i] - 'a';
- if (!nd[now].ptr[x]) {
- nd[now].ptr[x] = ++cnt;
- }
- now = nd[now].ptr[x];
- }
- nd[now].cnt++;
- }
-
- void build() {
- for (int i = 0; i < 26; i++) {
- if (nd[0].ptr[i]) {
- nd[nd[0].ptr[i]].fail = 0;
- q.push(nd[0].ptr[i]);
- }
- }
- while (!q.empty()) {
- int now = q.front();
- q.pop();
- for (int i = 0; i < 26; i++) {
- if (nd[now].ptr[i]) {
- nd[nd[now].ptr[i]].fail = nd[nd[now].fail].ptr[i];
- q.push(nd[now].ptr[i]);
- } else {
- nd[now].ptr[i] = nd[nd[now].fail].ptr[i];
- }
- }
- }
- }
-
- int query(const string &s) {
- int now = 0, ans = 0;
- int len = s.size();
- for (int i = 0; i < len; i++) {
- int x = s[i] - 'a';
- now = nd[now].ptr[x];
- for (int p = now; p && ~nd[p].cnt; p = nd[p].fail) {
- ans += nd[p].cnt;
- nd[p].cnt = -1;
- }
- }
- return ans;
- }
-} A;
-
-int main() {
- int n;
- cin >> n;
- for (int i = 1; i <= n; i++) {
- string temp;
- cin >> temp;
- A.insert(temp);
- }
- A.build();
- string s;
- cin >> s;
- cout << A.query(s) << '\n';
-}
-```
-
-[1]: https://hexo-source-1257756441.cos.ap-chengdu.myqcloud.com/2018/08/2858847684.gif
+时间和空间复杂度： $O(m|\Sigma|)$。
-[2]: https://hexo-source-1257756441.cos.ap-chengdu.myqcloud.com/2018/08/3946915055.png
-[3]: https://hexo-source-1257756441.cos.ap-chengdu.myqcloud.com/2018/08/1745118561.gif
-[4]: https://hexo-source-1257756441.cos.ap-chengdu.myqcloud.com/2018/08/1426947356.png
-[5]: https://hexo-source-1257756441.cos.ap-chengdu.myqcloud.com/2018/08/1085042377.png
-[6]: https://hexo-source-1257756441.cos.ap-chengdu.myqcloud.com/2018/08/24151497.gif
+一些细节：走到接受状态之后立即转移到该状态的 $next$。
OSDN Git Service
