-本文介绍牛顿迭代法（Newton's method for finding roots）求解方程的近似解。牛顿在 1664 年发明了这个方法。具体的任务是，对于在 $[a,b]$ 上连续且单调的函数 $f(x)$，求 $f(x)=0$ 的近似解。
+本文介绍牛顿迭代法（Newton's method for finding roots）求解方程的近似解。牛顿在 1664 年发明了这个方法。具体的任务是，对于在 $[a,b]$ 上连续且单调的函数 $f(x)$ ，求 $f(x)=0$ 的近似解。
## 算法描述
初始时我们从给定的 $f(x)$ 和一个粗略的近似解 $x_0$ 开始。
-假设我们目前的近似解是 $x_i$，那么为了得到更优的近似解，我们画出经过 $(x_0,f(x_0))$ 的与 $f(x)$ 相切的直线 $l$，将 $l$ 与 $x$ 轴的交点横坐标记为 $x_{i+1}$。并重复这个迭代的过程。
+假设我们目前的近似解是 $x_i$ ，那么为了得到更优的近似解，我们画出经过 $(x_0,f(x_0))$ 的与 $f(x)$ 相切的直线 $l$ ，将 $l$ 与 $x$ 轴的交点横坐标记为 $x_{i+1}$ 。并重复这个迭代的过程。
上述过程可以表示为以下递推式：
x_{i+1} = x_i - \frac{f(x_i)}{f^\prime(x_i)}
$$
-
-直观地说，如果 $f(x)$ 比较平滑，那么随着迭代次数的增加，$x_i$ 会越来越逼近方程的解。
+直观地说，如果 $f(x)$ 比较平滑，那么随着迭代次数的增加， $x_i$ 会越来越逼近方程的解。
牛顿迭代法的收敛率是平方级别的，这意味着每次迭代后近似解的精确数位会翻倍。
## 求解平方根
-我们尝试用牛顿迭代法求解平方根。设 $f(x)=x^2-n$，这个方程的近似解就是 $\sqrt{n}$ 的近似解。于是我们得到
+我们尝试用牛顿迭代法求解平方根。设 $f(x)=x^2-n$ ，这个方程的近似解就是 $\sqrt{n}$ 的近似解。于是我们得到
$$
x_{i+1}=x_i-\frac{x_i^2-n}{2x_i}=\frac{x_i+\frac{n}{x_i}}{2}
```cpp
double sqrt_newton(double n) {
- const double eps = 1E-15;
- double x = 1;
- while(1){
- double nx =(x+n/x)/2;
- if (abs(x - nx) < eps) break;
- x = nx;
- }
- return x;
+ const double eps = 1E-15;
+ double x = 1;
+ while (1) {
+ double nx = (x + n / x) / 2;
+ if (abs(x - nx) < eps) break;
+ x = nx;
+ }
+ return x;
}
```
## 求解整数平方根
-尽管我们可以调用`sqrt()` 获取平方根的值，但我们还是讲一下牛顿迭代法的变种算法，用于求解 $x^2\le n$ 的 $x$ 的最大整数解。我们仍然考虑一个类似于牛顿迭代的过程，但需要在边界条件上稍作修改。如果 $x$ 在迭代的过程中上一次迭代值得近似解变小，而这一次迭代使得近似解变大，那么我们就不进行这次迭代，退出循环。
+尽管我们可以调用 `sqrt()` 获取平方根的值，但我们还是讲一下牛顿迭代法的变种算法，用于求解 $x^2\le n$ 的 $x$ 的最大整数解。我们仍然考虑一个类似于牛顿迭代的过程，但需要在边界条件上稍作修改。如果 $x$ 在迭代的过程中上一次迭代值得近似解变小，而这一次迭代使得近似解变大，那么我们就不进行这次迭代，退出循环。
```cpp
int isqrt_newton(int n) {
- int x = 1;
- bool decreased = false;
- for (;;) {
- int nx = (x + n / x) >> 1;
- if (x == nx || nx > x && decreased)
- break;
- decreased = nx < x;
- x = nx;
- }
- return x;
+ int x = 1;
+ bool decreased = false;
+ for (;;) {
+ int nx = (x + n / x) >> 1;
+ if (x == nx || nx > x && decreased) break;
+ decreased = nx < x;
+ x = nx;
+ }
+ return x;
}
```
## 高精度平方根
-最后考虑高精度的牛顿迭代法。迭代的方法是不变的，但这次我们需要关注初始时近似解的设置，即 $x_0$ 的值。由于高精度的数非常大，因此不同的初始值对于算法效率的影响也很大。一个自然的想法就是考虑 $x_0=2^{\left\lfloor\frac{1}{2}\log_2n\right\rfloor}$，这样既可以快速计算出 $x_0$，又可以较为接近平方根的近似解。
+最后考虑高精度的牛顿迭代法。迭代的方法是不变的，但这次我们需要关注初始时近似解的设置，即 $x_0$ 的值。由于高精度的数非常大，因此不同的初始值对于算法效率的影响也很大。一个自然的想法就是考虑 $x_0=2^{\left\lfloor\frac{1}{2}\log_2n\right\rfloor}$ ，这样既可以快速计算出 $x_0$ ，又可以较为接近平方根的近似解。
给出 Java 代码的实现：
}
```
-实践效果：在 $n=10^{1000}$ 的时侯该算法的运行时间是 $60\,ms$，如果我们不优化 $x_0$ 的值，直接从 $x_0=1$ 开始算，那么运行时间将达到 $120\,ms$。
+实践效果：在 $n=10^{1000}$ 的时侯该算法的运行时间是 $60\,ms$ ，如果我们不优化 $x_0$ 的值，直接从 $x_0=1$ 开始算，那么运行时间将达到 $120\,ms$ 。
## 习题
-- [UVa 10428 - The Roots](https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=16&page=show_problem&problem=1369)
-**本页面主要译自博文 [Метод Ньютона (касательных) для поиска корней](http://e-maxx.ru/algo/roots_newton) 与其英文翻译版 [Newton's method for finding roots](https://cp-algorithms.com/num_methods/roots_newton.html)。其中俄文版版权协议为 Public Domain + Leave a Link；英文版版权协议为 CC-BY-SA 4.0。**
+- [UVa 10428 - The Roots](https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=16&page=show_problem&problem=1369)
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+ **本页面主要译自博文[Метод Ньютона (касательных) для поиска корней](http://e-maxx.ru/algo/roots_newton)与其英文翻译版[Newton's method for finding roots](https://cp-algorithms.com/num_methods/roots_newton.html)。其中俄文版版权协议为 Public Domain + Leave a Link；英文版版权协议为 CC-BY-SA 4.0。**
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