--- /dev/null
+author: hyp1231
+
+## 定义
+
+给定反演中心点 $O$ 和反演半径 $R$。若平面上点 $P$ 和 $P'$ 满足：
+
+- 点 $P'$ 在射线 $\overrightarrow{OP}$ 上
+- $|OP| \cdot |OP'| = R^2$
+
+则称点 $P$ 和点 $P'$ 互为反演点。
+
+下图所示即为平面上一点 $P$ 的反演：
+
+
+
+## 性质
+
+1. 圆 $O$ 外的点的反演点在圆 $O$ 内，反之亦然；圆 $O$ 上的点的反演点为其自身。
+
+2. 不过点 $O$ 的圆 $A$，其反演图形也是不过点 $O$ 的圆。
+
+ 
+
+ * 记圆 $A$ 半径为 $r_1$，其反演图形圆 $B$ 半径为 $r_2$，则有：
+
+ $$
+ r_2 = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{|OA| - r_1} - \frac{1}{|OA| + r_2}\right) R^2
+ $$
+
+ **证明：**
+
+ 
+
+ 根据反演变换定义：
+
+ $$
+ |OC|\cdot|OC'| = (|OA|+r_1)\cdot(|OB|-r_2) = R^2 \\
+ |OD|\cdot|OD'| = (|OA|-r_1)\cdot(|OB|+r_2) = R^2
+ $$
+
+ 消掉 $|OB|$，解方程即可。
+
+ * 记点 $O$ 坐标为 $(x_0, y_0)$，点 $A$ 坐标为 $x_1, y_1$，点 $B$ 坐标为 $x_2, y_2$，则有：
+
+ $$
+ x_2 = x_0 + \frac{|OB|}{|OA|} (x_1 - x_0) \\
+ y_2 = y_0 + \frac{|OB|}{|OA|} (y_1 - y_0)
+ $$
+
+ 其中 $|OB|$ 可在上述求 $r_2$ 的过程中计算得到。
+
+3. 过点 $O$ 的圆 $A$，其反演图形是不过点 $O$ 的直线。
+
+ ??? note
+ 为什么是一条直线呢？因为圆 $A$ 上无限接近点 $O$ 的一点，其反演点离点 $O$ 无限远。
+
+ 
+
+4. 两个图形相切，则他们的反演图形也相切。
+
+## 例题
+
+### [「ICPC 2013 杭州赛区」Problem of Apollonius](https://vjudge.net/problem/HDU-4773)
+
+#### 题目大意
+
+求过两圆外一点，且与两圆相切的所有的圆。
+
+#### 解法
+
+首先考虑解析几何解法，似乎很难求解。
+
+考虑以需要经过的点为反演中心进行反演（反演半径任意），所求的圆的反演图形是一条直线（应用性质 $3$），且与给出题目给出两圆的反演图形（性质 $2$）相切（性质 $4$）。
+
+于是题目经过反演变换后转变为：求两圆的所有公切线。
+
+求出公切线后，反演回原平面即可。
+
+??? note "示例代码"
+ ```cpp
+ #include <iostream>
+ #include <cstdio>
+ #include <algorithm>
+ #include <cstring>
+ #include <vector>
+ #include <cmath>
+ using namespace std;
+
+ const double EPS = 1e-8; //精度系数
+ const double PI = acos(-1.0); //π
+ const int N = 4;
+
+ struct Point {
+ double x, y;
+ Point(double x = 0, double y = 0) :x(x), y(y) {}
+ const bool operator < (Point A)const {
+ return x == A.x ? y < A.y : x < A.x;
+ }
+ }; //点的定义
+
+ typedef Point Vector; //向量的定义
+
+ Vector operator + (Vector A, Vector B) { return Vector(A.x + B.x, A.y + B.y); } //向量加法
+ Vector operator - (Vector A, Vector B) { return Vector(A.x - B.x, A.y - B.y); } //向量减法
+ Vector operator * (Vector A, double p) { return Vector(A.x*p, A.y*p); } //向量数乘
+ Vector operator / (Vector A, double p) { return Vector(A.x / p, A.y / p); } //向量数除
+
+ int dcmp(double x) {
+ if (fabs(x) < EPS)return 0; else return x < 0 ? -1 : 1;
+ } //与0的关系
+
+ double Dot(Vector A, Vector B) { return A.x * B.x + A.y * B.y; } //向量点乘
+ double Length(Vector A) { return sqrt(Dot(A, A)); } //向量长度
+ double Cross(Vector A, Vector B) { return A.x*B.y - A.y*B.x; } //向量叉乘
+
+ Point GetLineProjection(Point P, Point A, Point B) {
+ Vector v = B - A;
+ return A + v*(Dot(v, P - A) / Dot(v, v));
+ } //点在直线上投影
+
+ struct Circle {
+ Point c;
+ double r;
+ Circle() :c(Point(0, 0)), r(0) {}
+ Circle(Point c, double r = 0) :c(c), r(r) {}
+ Point point(double a) { return Point(c.x + cos(a)*r, c.y + sin(a)*r); } //输入极角返回点坐标
+ }; //圆
+
+ // a[i] 和 b[i] 分别是第i条切线在圆A和圆B上的切点
+ int getTangents(Circle A, Circle B, Point* a, Point* b) {
+ int cnt = 0;
+ if (A.r < B.r) { swap(A, B); swap(a, b); }
+ double d2 = (A.c.x - B.c.x)*(A.c.x - B.c.x) + (A.c.y - B.c.y)*(A.c.y - B.c.y);
+ double rdiff = A.r - B.r;
+ double rsum = A.r + B.r;
+ if (dcmp(d2 - rdiff * rdiff) < 0) return 0; //内含
+
+ double base = atan2(B.c.y - A.c.y, B.c.x - A.c.x);
+ if (dcmp(d2) == 0 && dcmp(A.r - B.r) == 0)return -1; //无限多条切线
+ if (dcmp(d2 - rdiff*rdiff) == 0) { //内切，一条切线
+ a[cnt] = A.point(base); b[cnt] = B.point(base); ++cnt;
+ return 1;
+ }
+ //有外公切线
+ double ang = acos(rdiff / sqrt(d2));
+ a[cnt] = A.point(base + ang); b[cnt] = B.point(base + ang); ++cnt;
+ a[cnt] = A.point(base - ang); b[cnt] = B.point(base - ang); ++cnt;
+ if (dcmp(d2 - rsum*rsum) == 0) { //一条内公切线
+ a[cnt] = A.point(base); b[cnt] = B.point(PI + base); ++cnt;
+ } else if (dcmp(d2 - rsum*rsum) > 0) { //两条内公切线
+ double ang = acos(rsum / sqrt(d2));
+ a[cnt] = A.point(base + ang); b[cnt] = B.point(PI + base + ang); ++cnt;
+ a[cnt] = A.point(base - ang); b[cnt] = B.point(PI + base - ang); ++cnt;
+ }
+ return cnt;
+ } // 两圆公切线 返回切线的条数，-1表示无穷多条切线
+
+ Circle Inversion_C2C(Point O, double R, Circle A) {
+ double OA = Length(A.c - O);
+ double RB = 0.5 * ((1 / (OA - A.r)) - (1 / (OA + A.r))) * R * R;
+ double OB = OA * RB / A.r;
+ double Bx = O.x + (A.c.x - O.x) * OB / OA;
+ double By = O.y + (A.c.y - O.y) * OB / OA;
+ return Circle(Point(Bx, By), RB);
+ } // 点 O 在圆 A 外，求圆 A 的反演圆 B，R 是反演半径
+
+ Circle Inversion_L2C(Point O, double R, Point A, Vector v) {
+ Point P = GetLineProjection(O, A, A + v);
+ double d = Length(O - P);
+ double RB = R * R / (2 * d);
+ Vector VB = (P - O) / d * RB;
+ return Circle(O + VB, RB);
+ } // 直线反演为过 O 点的圆 B，R 是反演半径
+
+ bool theSameSideOfLine(Point A, Point B, Point S, Vector v) {
+ return dcmp(Cross(A - S, v)) * dcmp(Cross(B - S, v)) > 0;
+ } // 返回 true 如果 A B 两点在直线同侧
+
+ int main() {
+ int T;
+ scanf("%d", &T);
+ while (T--) {
+ Circle A, B;
+ Point P;
+ scanf("%lf%lf%lf", &A.c.x, &A.c.y, &A.r);
+ scanf("%lf%lf%lf", &B.c.x, &B.c.y, &B.r);
+ scanf("%lf%lf", &P.x, &P.y);
+ Circle NA = Inversion_C2C(P, 10, A);
+ Circle NB = Inversion_C2C(P, 10, B);
+ Point LA[N], LB[N];
+ Circle ansC[N];
+ int q = getTangents(NA, NB, LA, LB), ans = 0;
+ for (int i = 0; i < q; ++i) if (theSameSideOfLine(NA.c, NB.c, LA[i], LB[i] - LA[i])) {
+ if (!theSameSideOfLine(P, NA.c, LA[i], LB[i] - LA[i])) continue;
+ ansC[ans++] = Inversion_L2C(P, 10, LA[i], LB[i] - LA[i]);
+ }
+ printf("%d\n", ans);
+ for (int i = 0; i < ans; ++i) {
+ printf("%.8f %.8f %.8f\n", ansC[i].c.x, ansC[i].c.y, ansC[i].r);
+ }
+ }
+
+ return 0;
+ }
+ ```
+
+## 练习
+
+[「ICPC 2017 南宁赛区网络赛」Finding the Radius for an Inserted Circle](https://nanti.jisuanke.com/t/A1283)
+
+[「CCPC 2017 网络赛」The Designer](https://vjudge.net/problem/HDU-6158)
+
+## References
+
+* [Inversive geometry - Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Inversive_geometry)
+
+* [圆的反演变换 - ACdreamers的博客](https://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/16966369)
OSDN Git Service
