## 次小生成树
+### 非严格次小生成树
+
+#### 定义
+
+在无向图中，边权和最小的满足边权和**小于等于**最小生成树边权和的生成树
+
+#### 求解方法
+
+- 求出无向图的最小生成树
+- 遍历每条未被选中的边 $(u,v,val)$，找到 $u$ 到 $v$ 路径上边权最大的一条边，尝试替换
+- 对所有替换结果取最小值即可
+
+### 严格次小生成树
+
+#### 定义
+
+在无向图中，边权和最小的满足边权和**小于**最小生成树边权和的生成树
+
+#### 求解方法
+
+考虑刚才的非严格次小生成树求解过程，为什么求得的解是非严格的？
+
+因为最小生成树保证生成树中 $u$ 到 $v$ 路径上的边权最大值一定**不大于**其他路径的边权最大值。换言之，我们用于替换的边的权值有可能与原生成树中被替换边的权值相等，则得到的次小生成树是非严格的。
+
+解决的办法很自然：我们维护最大值的同时维护**严格次大值**，当用于替换的边的权值与原生成树中路径最大边权相等时，我们替换次大值即可。
+
+这个过程可以用倍增求解，复杂度$(mlogm)$
+
+#### 代码
+
+```cpp
+#include<bits/stdc++.h>
+
+using namespace std;
+
+#define int long long
+
+struct Edge
+{
+ int u,v,val;
+
+ bool operator<(const Edge &other)const
+ {
+ return val<other.val;
+ }
+};
+
+Edge e[300010];
+bool used[300010];
+
+int n,m;
+int sum;
+
+class Tr
+{
+private:
+ struct Edge
+ {
+ int to,nxt,val;
+ }e[600010];
+ int cnt,head[100010];
+
+ int pnt[100010][22];
+ int dpth[100010];
+ int maxx[100010][22];
+ int minn[100010][22];
+
+public:
+ void addedge(int u,int v,int val)
+ {
+ e[++cnt]=(Edge){v,head[u],val};
+ head[u]=cnt;
+ }
+
+ void insedge(int u,int v,int val)
+ {
+ addedge(u,v,val);
+ addedge(v,u,val);
+ }
+
+ void dfs(int now,int fa)
+ {
+ dpth[now]=dpth[fa]+1;
+ pnt[now][0]=fa;
+ for(int i=1;(1<<i)<=dpth[now];i++)
+ {
+ pnt[now][i]=pnt[pnt[now][i-1]][i-1];
+ int kk[4]={
+ maxx[now][i-1],
+ maxx[pnt[now][i-1]][i-1],
+ minn[now][i-1],
+ minn[pnt[now][i-1]][i-1]
+ };
+ sort(kk,kk+4);
+ maxx[now][i]=kk[3];
+ int ptr=2;
+ while(kk[ptr]==kk[3])
+ {
+ ptr--;
+ }
+ minn[now][i]=kk[ptr];
+ }
+
+
+ for(int i=head[now];i;i=e[i].nxt)
+ {
+ if(e[i].to!=fa)
+ {
+ maxx[e[i].to][0]=e[i].val;
+ dfs(e[i].to,now);
+ }
+ }
+ }
+
+ int lca(int a,int b)
+ {
+ if(dpth[a]<dpth[b])
+ {
+ swap(a,b);
+ }
+
+ for(int i=21;i>=0;i--)
+ {
+ if(dpth[pnt[a][i]]>=dpth[b])
+ {
+ a=pnt[a][i];
+ }
+ }
+
+ if(a==b)
+ {
+ return a;
+ }
+ for(int i=21;i>=0;i--)
+ {
+ if(pnt[a][i]!=pnt[b][i])
+ {
+ a=pnt[a][i];
+ b=pnt[b][i];
+ }
+ }
+ return pnt[a][0];
+ }
+
+ int query(int a,int b,int maxn)
+ {
+ int res=0;
+ for(int i=21;i>=0;i--)
+ {
+ if(dpth[pnt[a][i]]>=dpth[b])
+ {
+ if(maxn!=maxx[a][i])
+ {
+ res=max(res,maxx[a][i]);
+ }
+ else
+ {
+ res=max(res,minn[a][i]);
+ }
+ a=pnt[a][i];
+ }
+ }
+ return res;
+ }
+}tr;
+
+int fa[100010];
+int find(int x)
+{
+ return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);
+}
+
+
+void Kruskal()
+{
+ int tot=0;
+ sort(e+1,e+m+1);
+ for(int i=1;i<=n;i++)
+ {
+ fa[i]=i;
+ }
+
+ for(int i=1;i<=m;i++)
+ {
+ int a=find(e[i].u);
+ int b=find(e[i].v);
+ if(a!=b)
+ {
+ fa[a]=b;
+ tot++;
+ tr.insedge(e[i].u,e[i].v,e[i].val);
+ sum+=e[i].val;
+ used[i]=1;
+ }
+ if(tot==n-1)
+ {
+ break;
+ }
+ }
+}
+
+main()
+{
+ ios::sync_with_stdio(0);
+ cin.tie(0),cout.tie(0);
+
+ cin>>n>>m;
+ for(int i=1;i<=m;i++)
+ {
+ int u,v,val;
+ cin>>u>>v>>val;
+ e[i]=(Edge){u,v,val};
+ }
+
+ Kruskal();
+ int ans=0x7f7f7f7f7f7f7f7f;
+ tr.dfs(1,0);
+
+ for(int i=1;i<=m;i++)
+ {
+ if(!used[i])
+ {
+ int _lca=tr.lca(e[i].u,e[i].v);
+ int tmpa=tr.query(e[i].u,_lca,e[i].val);
+ int tmpb=tr.query(e[i].v,_lca,e[i].val);
+ ans=min(ans,sum-max(tmpa,tmpb)+e[i].val);
+ }
+ }
+ cout<<ans<<'\n';
+ return 0;
+}
+```
+
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