-快速排序（英语：Quicksort），又称分区交换排序（partition-exchange sort），简称快排，是一种被广泛运用的排序算法。
+本页面将简要介绍快速排序。
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+## 简介
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+快速排序（英语：Quicksort），又称分区交换排序（英语：partition-exchange sort），简称快排，是一种被广泛运用的排序算法。
- ## 工作原理
+ ## 基本原理与实现
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+ ### 原理
快速排序的工作原理是通过 [分治](./divide-and-conquer.md) 的方式来将一个数组排序。
第三步中的序列已经分别有序且第一个序列中的数都小于第二个数，所以直接拼接起来就好了。
-### 性质
+### 线性找第 k 大的数
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+找第 $k$ 大的数（K-th order statistic），最简单的方法是先排序，然后直接找到第 $k$ 大的位置的元素。这样做的时间复杂度是 $O(n\log n)$ ，对于这个问题来说很不划算。事实上存在时间复杂度 $O(n)$ 的解法。
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+考虑快速排序的划分过程，在快速排序的「划分」结束后，数列 $A_{p} \cdots A_{r}$ 被分成了 $A_{p} \cdots A_{q}$ 和 $A_{q+1} \cdots A_{r}$ ，此时可以按照左边元素的个数（ $q - p + 1$ ）和 $k$ 的大小关系来判断是只在左边还是只在右边递归地求解。
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+可以证明，在期望意义下，程序的时间复杂度为 $O(n)$ 。
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+## 性质
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+### 稳定性
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+快速排序是一种不稳定的排序算法。
-- **稳定性：** 快速排序是一种不稳定的排序方法；
-- **时间复杂度：** 快速排序的最佳时间复杂度和平均时间复杂度为 $O(n\log n)$ ，最坏时间复杂度为 $O(n^2)$ 。然而，实践中几乎不可能达到最坏情况，且因为快速排序的内存访问遵循局部性原理，多数情况下快速排序的表现大幅优于堆排序等其他复杂度为 $O(n \log n)$ 的排序算法。[^ref1]
+### 时间复杂度
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+快速排序的最优时间复杂度和平均时间复杂度为 $O(n\log n)$ ，最坏时间复杂度为 $O(n^2)$ 。
- 实践中几乎不可能达到最坏情况，且因为快速排序的内存访问遵循局部性原理，多数情况下快速排序的表现大幅优于堆排序等其他复杂度为 $O(n \log n)$ 的排序算法。[^ref1]
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- 在选择 $m$ 的过程中，使用 [Median of Medians](https://en.wikipedia.org/wiki/Median_of_medians) 算法就可以保证最坏时间复杂度为 $O(n\log n)$ 。但是其过于复杂，实践中一般不使用。
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- ## 代码实现
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- ### C++[^ref2]
+ ### 实现（C++）[^ref2]
```cpp
struct Range {
内省排序将快速排序的最大递归深度限制为 $\lfloor \log_2n \rfloor$ ，超过限制时就转换为堆排序。这样既保留了快速排序内存访问的局部性，又可以防止快速排序在某些情况下性能退化为 $O(n^2)$ 。
-2000 年 6 月，SGI C++ STL 的 stl_algo.h 中 sort(）函数的实现采用了内省排序算法。
+从 2000 年 6 月起，SGI C++ STL 的 `stl_algo.h` 中 `sort()` 函数的实现采用了内省排序算法。
- ## 三路快速排序
+ ## 线性找第 k 大的数
- 三路快速排序（英语：3-way Radix Quicksort）是快速排序和 [基数排序](radix-sort.md) 的混合。它的算法思想基于 [荷兰国旗问题](https://en.wikipedia.org/wiki/Dutch_national_flag_problem) 的解法。
+ 找第 $k$ 大的数（K-th order statistic），最简单的方法是先排序，然后直接找到第 $k$ 大的位置的元素。这样做的时间复杂度是 $O(n\log n)$ ，对于这个问题来说很不划算。
- 与原始的快速排序不同，三路快速排序在随机选取分界点 $m$ 后，将待排数列划分为三个部分：小于 $m$ 、等于 $m$ 以及大于 $m$ 。
+ 我们可以借助快速排序的思想解决这个问题。考虑快速排序的划分过程，在快速排序的「划分」结束后，数列 $A_{p} \cdots A_{r}$ 被分成了 $A_{p} \cdots A_{q}$ 和 $A_{q+1} \cdots A_{r}$ ，此时可以按照左边元素的个数（ $q - p + 1$ ）和 $k$ 的大小关系来判断是只在左边还是只在右边递归地求解。
- 三路快速排序在处理含有多个重复值的数组时，效率远高于原始快速排序。
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- 三路快速排序的最优时间复杂度为 $O(n)$ 。
+ 可以证明，在期望意义下，程序的时间复杂度为 $O(n)$ 。
-### 实现（C++）
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-```cpp
-// 模板的T参数表示元素的类型，此类型需要定义小于（<）运算
-template <typename T>
-// arr为查找范围数组，rk为需要查找的排名（从0开始），len为数组长度
-T find_kth_element(T arr[], int rk, const int len) {
- if (len <= 1) return arr[0];
- // 随机选择基准（pivot）
- const T pivot = arr[rand() % len];
- // i：当前操作的元素
- // j：第一个等于pivot的元素
- // k：第一个大于pivot的元素
- int i = 0, j = 0, k = len;
- // 完成一趟三路快排，将序列分为：小于pivot的元素 ｜ 等于pivot的元素 ｜
- // 大于pivot的元素
- while (i < k) {
- if (arr[i] < pivot)
- swap(arr[i++], arr[j++]);
- else if (pivot < arr[i])
- swap(arr[i], arr[--k]);
- else
- i++;
- }
- // 根据要找的排名与两条分界线的位置，去不同的区间递归查找第k大的数
- // 如果小于pivot的元素个数比k多，则第k大的元素一定是一个小于pivot的元素
- if (rk < j) return find_kth_element(arr, rk, j);
- // 否则，如果小于pivot和等于pivot的元素加起来也没有k多，则第k大的元素一定是一个大于pivot的元素
- else if (rk >= k)
- return find_kth_element(arr + k, rk - k, len - k);
- // 否则，pivot就是第k大的元素
- return pivot;
-}
-```
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## 参考资料与注释
[^ref1]: [C++ 性能榨汁机之局部性原理 - I'm Root lee !](http://irootlee.com/juicer_locality/)
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