???+note "[LOJ6515「雅礼集训 2018 Day10」贪玩蓝月](https://loj.ac/problem/6515)"
一个双端队列（deque），m 个事件：
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1. 在前端插入 (w,v)
2. 在后端插入 (w,v)
3. 删除前端的二元组
4. 删除后端的二元组
5. 给定 l,r，在当前 deque 中选择一个子集 S 使得 $\sum_{(w,v)\in S}w\bmod p\in[l,r]$ ，且最大化 $\sum_{(w,v)\in S}v$ .
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$m\leq 5\times 10^4,p\leq 500$ .
??? note "解题思路"
每个二元组是有一段存活时间的，因此对时间建立线段树，每个二元组做 log 个存活标记。因此我们要做的就是对每个询问，求其到根节点的路径上的标记的一个最优子集。显然这个可以 DP 做。 $f[S,j]$ 表示选择集合 S 中的物品余数为 j 的最大价值。（其实实现的时侯是有序的，直接 f[i,j]做）
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一共有 $O(m\log m)$ 个标记，因此这么做的话复杂度是 $O(mp\log m)$ 的。
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这是一个在线算法比离线算法快的神奇题目。而且还比离线的好写。
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上述离线算法其实是略微小题大做的，因为如果把题目的 deque 改成直接维护一个集合的话（即随机删除集合内元素），那么离线算法同样适用。既然是 deque，不妨在数据结构上做点文章。
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如果题目中维护的数据结构是一个栈呢？
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直接 DP 即可。 $f[i,j]$ 表示前 i 个二元组，余数为 j 时的最大价值。
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$$
f[i,j]=\max(f[i-1,j],f[i-1,(j-w_i)\bmod p]+v_i)
$$
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妥妥的背包啊。
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删除的时侯直接指针前移即可。这样做的复杂度是 $O(mp)$ 的。
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如果题目中维护的数据结构是队列？
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有一种操作叫双栈模拟队列。这就是这个东西的用武之地。因为用栈是可以轻松维护 DP 过程的，而双栈模拟队列的复杂度是均摊 $O(1)$ 的，因此，复杂度仍是 $O(mp)$ 。
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回到原题，那么 Deque 怎么做？
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类比推理，我们尝试用栈模拟双端队列，于是似乎把维护队列的方法扩展一下就可以了。但如果每次是全部转移栈中的元素的话，单次操作复杂度很容易退化为 $O(m)$ 。
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于是乎，神仙的想一想，我们可以丢一半过去啊。
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这样的复杂度其实均摊下来仍是常数级别。具体地说，丢一半指的是把一个栈靠近栈底的一半倒过来丢到另一个栈中。也就是说要手写栈以支持这样的操作。
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似乎可以用 [势能分析法](https://yhx-12243.github.io/OI-transit/records/cf601E.html) 证明。其实本蒟蒻有一个很仙的想法。我们考虑这个双栈结构的整体复杂度。m 个事件，我们希望尽可能增加这个结构的复杂度。
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首先，如果全是插入操作的话显然是严格 $\Theta(m)$ 的，因为插入的复杂度是 $O(1)$ 的。
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“丢一半”操作是在什么时侯触发的？当某一个栈为空又要求删除元素的时侯。设另一个栈的元素个数是 $O(k)$ ，那么丢一半的复杂度就是 $O(k)\geq O(1)$ 的。因此我们要尽可能增加“丢一半”操作的次数。
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为了增加丢一半的操作次数，必然需要不断删元素直到某一个栈为空。由于插入操作对增加复杂度是无意义的，因此我们不考虑插入操作。初始时有 m 个元素，假设全在一个栈中。则第一次丢一半的复杂度是 $O(m)$ 的。然后两个栈就各有 $\frac{m}{2}$ 个元素。这时就需要 $O(\frac{m}{2})$ 删除其中一个栈，然后就又可以触发一次复杂度为 $O(\frac{m}{2})$ 的丢一半操作……
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考虑这样做的总复杂度。
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$$
T(m)=2\cdot O(m)+T\left(\frac{m}{2}\right)
$$
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解得 $T(m)=O(m)$ 。
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于是，总复杂度仍是 $O(mp)$ 。
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在询问的时侯，我们要处理的应该是“在两个栈中选若干个元素的最大价值”的问题。因此要对栈顶的 DP 值做查询，即两个 $f,g$ 对于询问[l,r]的最大价值：
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$$
\max_{0\leq i<p}\left\{f[i]+\max_{l\leq i+j\leq r}g_j\right\}
$$
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这个问题暴力做是 $O(p^2)$ 的，不过一个妥妥的单调队列可以做到 $O(p)$ 。
??? note "参考代码"
OSDN Git Service
