-> 如何用 $\text{Splay}$ 维护二叉查找树。
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+本页面将简要介绍如何用 Splay 维护二叉查找树。
## 简介
- $\text{Splay}$ 是一种二叉查找树，它通过不断将某个节点旋转到根节点，使得整棵树仍然满足二叉查找树的性质，并且保持平衡而不至于退化为链，它由 Daniel Sleator 和 Robert Tarjan 发明。
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+ Splay 是一种二叉查找树，它通过不断将某个节点旋转到根节点，使得整棵树仍然满足二叉查找树的性质，并且保持平衡而不至于退化为链。它由 Daniel Sleator 和 Robert Tarjan 发明。
## 结构
### 节点维护信息
-| $rt$ | $tot$ | $fa[i]$ | $ch[i][0/1]$ | $val[i]$ | $cnt[i]$ | $sz[i]$ |
-| :----- | :------ | :-------- | :------------- | :--------- | :--------- | :-------- |
+| rt | tot | fa[i] | ch[i][0/1] | val[i] | cnt[i] | sz[i] |
+| :-----: | :------: | :--------: | :-------------: | :---------: | :---------: | :--------: |
| 根节点编号 | 节点个数 | 父亲 | 左右儿子编号 | 节点权值 | 权值出现次数 | 子树大小 |
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## 操作
### 基本操作
-- $\text{maintain}(x)$ ：在改变节点位置后，将节点 $x$ 的 $\text{size}$ 更新。
-- $\text{get}(x)$ ：判断节点 $x$ 是父亲节点的左儿子还是右儿子。
-- $\text{clear}(x)$ ：销毁节点 $x$ 。
+- `maintain(x)` ：在改变节点位置后，将节点 $x$ 的 $\text{size}$ 更新。
+- `get(x)` ：判断节点 $x$ 是父亲节点的左儿子还是右儿子。
+- `clear(x)` ：销毁节点 $x$ 。
```cpp
void maintain(int x) { sz[x] = sz[ch[x][0]] + sz[ch[x][1]] + cnt[x]; }
### 旋转操作
-为了使 $\text{Splay}$ 保持平衡而进行旋转操作，旋转的本质是将某个节点上移一个位置。
+为了使 Splay 保持平衡而进行旋转操作，旋转的本质是将某个节点上移一个位置。
**旋转需要保证** ：
-- 整棵 $\text{Splay}$ 的中序遍历不变（不能破坏二叉查找树的性质）。
+- 整棵 Splay 的中序遍历不变（不能破坏二叉查找树的性质）。
- 受影响的节点维护的信息依然正确有效。
-- $\text{root}$ 必须指向旋转后的根节点。
+- `root` 必须指向旋转后的根节点。
-在 $\text{Splay}$ 中旋转分为两种：左旋和右旋。
+在 Splay 中旋转分为两种：左旋和右旋。
**具体分析旋转步骤** （假设需要旋转的节点为 $x$ ，其父亲为 $y$ ，以右旋为例）
-1. 将 $y$ 的左儿子指向 $x$ 的右儿子，且 $x$ 的右儿子的父亲指向 $y$ 。 `ch[y][0]=ch[x][1]; fa[ch[x][1]]=y;`
-2. 将 $x$ 的右儿子指向 $y$ ，且 $y$ 的父亲指向 $x$ 。 `ch[x][chk^1]=y; fa[y]=x;`
+1. 将 $y$ 的左儿子指向 $x$ 的右儿子，且 $x$ 的右儿子的父亲指向 $y$ ； `ch[y][0]=ch[x][1]; fa[ch[x][1]]=y;`
+2. 将 $x$ 的右儿子指向 $y$ ，且 $y$ 的父亲指向 $x$ ； `ch[x][chk^1]=y; fa[y]=x;`
3. 如果原来的 $y$ 还有父亲 $z$ ，那么把 $z$ 的某个儿子（原来 $y$ 所在的儿子位置）指向 $x$ ，且 $x$ 的父亲指向 $z$ 。 `fa[x]=z; if(z) ch[z][y==ch[z][1]]=x;`
```cpp
### Splay 操作
- $\text{Splay}$ 规定：每访问一个节点后都要强制将其旋转到根节点。此时旋转操作具体分为 $6$ 种情况讨论（其中 $x$ 为需要旋转到根的节点）
+ Splay 规定：每访问一个节点后都要强制将其旋转到根节点。此时旋转操作具体分为 $6$ 种情况讨论（其中 $x$ 为需要旋转到根的节点）
- 如果 $x$ 的父亲不是根节点，且 $x$ 和父亲的儿子类型相同，首先将其父亲左旋或右旋，然后将 $x$ 右旋或左旋（图 $3,4$ ）。
- 如果 $x$ 的父亲不是根节点，且 $x$ 和父亲的儿子类型不同，将 $x$ 左旋再右旋、或者右旋再左旋（图 $5,6$ ）。
-分析起来一大串，其实代码一小段。大家可以自己模拟一下 $6$ 种旋转情况，就能理解 $\text{Splay}$ 的基本思想了。
+!!! tip
+ 请读者尝试自行模拟 $6$ 种旋转情况，以理解 Splay 的基本思想。
```cpp
void splay(int x) {
### 插入操作
-插入操作是一个比较复杂的过程，具体步骤如下（插入的值为 $k$ ）：
+插入操作是一个比较复杂的过程，具体步骤如下（假设插入的值为 $k$ ）：
-- 如果树空了则直接插入根并退出。
-- 如果当前节点的权值等于 $k$ 则增加当前节点的大小并更新节点和父亲的信息，将当前节点进行 $\text{Splay}$ 操作。
-- 否则按照二叉查找树的性质向下找，找到空节点就插入即可（当然别忘了 $\text{Splay}$ 操作哦）。
+- 如果树空了，则直接插入根并退出。
+- 如果当前节点的权值等于 $k$ 则增加当前节点的大小并更新节点和父亲的信息，将当前节点进行 Splay 操作。
+- 否则按照二叉查找树的性质向下找，找到空节点就插入即可（请不要忘记 Splay 操作）。
```cpp
void ins(int k) {
- 如果 $x$ 比当前节点的权值大，将答案加上左子树（ $size$ ）和当前节点（ $cnt$ ）的大小，向其右子树查找。
- 如果 $x$ 与当前节点的权值相同，将答案加 $1$ 并返回。
-注意最后需要进行 $\text{Splay}$ 操作。
+注意最后需要进行 Splay 操作。
```cpp
int rk(int k) {
}
```
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-## 完整代码
+## 代码实现
```cpp
#include <cstdio>
}
```
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## 例题
-以下题目都是裸的 $\text{Splay}$ 维护二叉查找树。
+以下题目都是裸的 Splay 维护二叉查找树。
- [【模板】普通平衡树](https://loj.ac/problem/104)
- [【模板】文艺平衡树](https://loj.ac/problem/105)
- [「HNOI2002」营业额统计](https://loj.ac/problem/10143)
- [「HNOI2004」宠物收养所](https://loj.ac/problem/10144)
-## 练习题
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- [「Cerc2007」robotic sort 机械排序](https://www.luogu.com.cn/problem/P4402)
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- [二逼平衡树（树套树）](https://loj.ac/problem/106)
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- [bzoj 2827 千山鸟飞绝](http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2827)
+## 习题
- [「Lydsy1706 月赛」K 小值查询](http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4923)
+- [「Cerc2007」robotic sort 机械排序](https://www.luogu.com.cn/problem/P4402)
+- [二逼平衡树（树套树）](https://loj.ac/problem/106)
+- [bzoj 2827 千山鸟飞绝](http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2827)
+- [「Lydsy1706 月赛」K 小值查询](http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4923)
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+## 参考资料与注释
-> 本文部分内容引用于 [algocode 算法博客](https://algocode.net) ，特别鸣谢！
+本文部分内容引用于 [algocode 算法博客](https://algocode.net) ，特别鸣谢！
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