## 定义
-序列自动机是接受且仅接受一个字符串的子序列的 [自动机](./automaton.md)。
+序列自动机是接受且仅接受一个字符串的子序列的 [自动机](./automaton.md) 。
本文中用 $s$ 代指这个字符串。
若 $s$ 包含 $n$ 个字符，那么序列自动机包含 $n+1$ 个状态。
-令 $t$ 是 $s$ 的一个子序列，那么 $\delta(start, t)=\min\{i|t\text{ 是 }s[1..i]\text{ 的子序列}\}$。
+令 $t$ 是 $s$ 的一个子序列，那么 $\delta(start, t)=\min\{i|t\text{ 是 }s[1..i]\text{ 的子序列}\}$ 。
也就是说，一个状态 $i$ 表示前缀 $s[1..i]$ 的子序列与前缀 $s[1..i-1]$ 的子序列的差集。
### 转移
-由状态定义可以得到，$\delta(u, c)=\min\{i|i>u,s[i]=u\}$，也就是字符 $c$ 下一次出现的位置。
+由状态定义可以得到， $\delta(u, c)=\min\{i|i>u,s[i]=u\}$ ，也就是字符 $c$ 下一次出现的位置。
-为什么是“下一次”出现的位置呢？因为若 $i>j$，后缀 $s[i..|s|]$ 的子序列是后缀 $s[j..|s|]$ 的子序列的子集，一定是选尽量靠前的最优。
+为什么是“下一次”出现的位置呢？因为若 $i>j$ ，后缀 $s[i..|s|]$ 的子序列是后缀 $s[j..|s|]$ 的子序列的子集，一定是选尽量靠前的最优。
## 构建
???+note "[「HEOI2015」最短不公共子串](https://www.luogu.org/problem/P4112)"
这题的 (1) 和 (3) 两问需要后缀自动机，而且做法类似，在这里只讲解 (2) 和 (4) 两问。
-
+
(2) 比较简单，枚举 A 的子串输入进 B 的序列自动机，若不接受则计入答案。
-
- (4) 需要 DP。令 $f(i, j)$ 表示在 A 的序列自动机中处于状态 $i$，在 B 的序列自动机中处于状态 $j$，需要再添加多少个字符能够不是公共子序列。
-
- $f(i, null)=f(null, j)=0$
-
- $f(i, j)=\min\limits_{\delta_A(i,c)\ne null}f(\delta_A(i, c), \delta_B(j, c))$
-
+
+ (4) 需要 DP。令 $f(i, j)$ 表示在 A 的序列自动机中处于状态 $i$ ，在 B 的序列自动机中处于状态 $j$ ，需要再添加多少个字符能够不是公共子序列。
+
+ $f(i, null)=f(null, j)=0$
+
+ $f(i, j)=\min\limits_{\delta_A(i,c)\ne null}f(\delta_A(i, c), \delta_B(j, c))$
+
整道题的参考代码：
-
+
```cpp
- #include <iostream>
+ #include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
- #include <algorithm>
+ #include <iostream>
using namespace std;
const int N = 2005;
char s[N], t[N];
- int n, m, a[N], b[N], na[N][26], nb[N][26], nxt[26], tot = 1, p = 1, f[N][N << 1];
+ int n, m, a[N], b[N], na[N][26], nb[N][26], nxt[26], tot = 1, p = 1,
+ f[N][N << 1];
- struct SAM
- {
- int par, ch[26], len;
+ struct SAM {
+ int par, ch[26], len;
} sam[N << 1];
- void insert(int x)
- {
- int np = ++tot;
- while (p && !sam[p].ch[x])
- {
- sam[p].ch[x] = np;
+ void insert(int x) {
+ int np = ++tot;
+ while (p && !sam[p].ch[x]) {
+ sam[p].ch[x] = np;
+ p = sam[p].par;
+ }
+ if (p == 0)
+ sam[np].par = 1;
+ else {
+ int q = sam[p].ch[x];
+ if (sam[q].len == sam[p].len + 1)
+ sam[np].par = q;
+ else {
+ int nq = ++tot;
+ sam[nq].len = sam[p].len + 1;
+ memcpy(sam[nq].ch, sam[q].ch, sizeof(sam[q].ch));
+ sam[nq].par = sam[q].par;
+ sam[q].par = sam[np].par = nq;
+ while (p && sam[p].ch[x] == q) {
+ sam[p].ch[x] = nq;
p = sam[p].par;
+ }
}
- if (p == 0) sam[np].par = 1;
- else
- {
- int q = sam[p].ch[x];
- if (sam[q].len == sam[p].len + 1) sam[np].par = q;
- else
- {
- int nq = ++tot;
- sam[nq].len = sam[p].len + 1;
- memcpy(sam[nq].ch, sam[q].ch, sizeof(sam[q].ch));
- sam[nq].par = sam[q].par;
- sam[q].par = sam[np].par = nq;
- while (p && sam[p].ch[x] == q)
- {
- sam[p].ch[x] = nq;
- p = sam[p].par;
- }
- }
- }
- p = np;
+ }
+ p = np;
}
- int main()
- {
- scanf("%s%s", s + 1, t + 1);
+ int main() {
+ scanf("%s%s", s + 1, t + 1);
- n = strlen(s + 1);
- m = strlen(t + 1);
+ n = strlen(s + 1);
+ m = strlen(t + 1);
- for (int i = 1; i <= n; ++i) a[i] = s[i] - 'a';
- for (int i = 1; i <= m; ++i) b[i] = t[i] - 'a';
+ for (int i = 1; i <= n; ++i) a[i] = s[i] - 'a';
+ for (int i = 1; i <= m; ++i) b[i] = t[i] - 'a';
- for (int i = 1; i <= m; ++i) insert(b[i]);
+ for (int i = 1; i <= m; ++i) insert(b[i]);
- for (int i = 0; i < 26; ++i) nxt[i] = n + 1;
- for (int i = n; i >= 0; --i)
- {
- memcpy(na[i], nxt, sizeof(nxt));
- nxt[a[i]] = i;
- }
+ for (int i = 0; i < 26; ++i) nxt[i] = n + 1;
+ for (int i = n; i >= 0; --i) {
+ memcpy(na[i], nxt, sizeof(nxt));
+ nxt[a[i]] = i;
+ }
- for (int i = 0; i < 26; ++i) nxt[i] = m + 1;
- for (int i = m; i >= 0; --i)
- {
- memcpy(nb[i], nxt, sizeof(nxt));
- nxt[b[i]] = i;
- }
+ for (int i = 0; i < 26; ++i) nxt[i] = m + 1;
+ for (int i = m; i >= 0; --i) {
+ memcpy(nb[i], nxt, sizeof(nxt));
+ nxt[b[i]] = i;
+ }
- int ans = N;
-
- for (int l = 1; l <= n; ++l)
- {
- for (int r = l, u = 1; r <= n; ++r)
- {
- u = sam[u].ch[a[r]];
- if (!u)
- {
- ans = min(ans, r - l + 1);
- break;
- }
- }
- }
+ int ans = N;
- printf("%d\n", ans == N ? -1 : ans);
-
- ans = N;
-
- for (int l = 1; l <= n; ++l)
- {
- for (int r = l, u = 0; r <= n; ++r)
- {
- u = nb[u][a[r]];
- if (u == m + 1)
- {
- ans = min(ans, r - l + 1);
- break;
- }
- }
+ for (int l = 1; l <= n; ++l) {
+ for (int r = l, u = 1; r <= n; ++r) {
+ u = sam[u].ch[a[r]];
+ if (!u) {
+ ans = min(ans, r - l + 1);
+ break;
+ }
}
+ }
+
+ printf("%d\n", ans == N ? -1 : ans);
+
+ ans = N;
- printf("%d\n", ans == N ? -1 : ans);
-
- for (int i = n; i >= 0; --i)
- {
- for (int j = 1; j <= tot; ++j)
- {
- f[i][j] = N;
- for (int c = 0; c < 26; ++c)
- {
- int u = na[i][c];
- int v = sam[j].ch[c];
- if (u <= n) f[i][j] = min(f[i][j], f[u][v] + 1);
- }
- }
+ for (int l = 1; l <= n; ++l) {
+ for (int r = l, u = 0; r <= n; ++r) {
+ u = nb[u][a[r]];
+ if (u == m + 1) {
+ ans = min(ans, r - l + 1);
+ break;
+ }
}
+ }
+
+ printf("%d\n", ans == N ? -1 : ans);
+
+ for (int i = n; i >= 0; --i) {
+ for (int j = 1; j <= tot; ++j) {
+ f[i][j] = N;
+ for (int c = 0; c < 26; ++c) {
+ int u = na[i][c];
+ int v = sam[j].ch[c];
+ if (u <= n) f[i][j] = min(f[i][j], f[u][v] + 1);
+ }
+ }
+ }
+
+ printf("%d\n", f[0][1] == N ? -1 : f[0][1]);
+
+ memset(f, 0, sizeof(f));
- printf("%d\n", f[0][1] == N ? -1 : f[0][1]);
-
- memset(f, 0, sizeof(f));
-
- for (int i = n; i >= 0; --i)
- {
- for (int j = 0; j <= m; ++j)
- {
- f[i][j] = N;
- for (int c = 0; c < 26; ++c)
- {
- int u = na[i][c];
- int v = nb[j][c];
- if (u <= n) f[i][j] = min(f[i][j], f[u][v] + 1);
- }
- }
+ for (int i = n; i >= 0; --i) {
+ for (int j = 0; j <= m; ++j) {
+ f[i][j] = N;
+ for (int c = 0; c < 26; ++c) {
+ int u = na[i][c];
+ int v = nb[j][c];
+ if (u <= n) f[i][j] = min(f[i][j], f[u][v] + 1);
+ }
}
+ }
- printf("%d\n", f[0][0] == N ? -1 : f[0][0]);
+ printf("%d\n", f[0][0] == N ? -1 : f[0][0]);
- return 0;
+ return 0;
}
- ```
\ No newline at end of file
+ ```
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