+## 欧拉函数的定义
+
欧拉函数(Euler's totient function),即 $\varphi(n)$ ,表示的是小于等于 $n$ 和 $n$ 互质的数的个数。
比如说 $\varphi(1) = 1$ 。
当 n 是质数的时候,显然有 $\varphi(n) = n - 1$ 。
-利用唯一分解定理,我们可以把一个整数唯一地分解为质数幂次的乘积,
+## 欧拉函数的一些性质
-设 $n = \prod_{i=1}^{n}p_i^{k_i}$ ,其中 $p_i$ 是质数,那么 $\varphi(n) = n \times \prod_{i = 1}^s{\dfrac{p_i - 1}{p_i}}$
+- 欧拉函数是积性函数。
-#### 证明:
+ 积性是什么意思呢?如果有 $\gcd(a, b) = 1$ ,那么 $\varphi(a \times b) = \varphi(a) \times \varphi(b)$ 。
-引理(1):设 $x=p^k$ , 那么 $\varphi(x)=p^{k-1}\times(p-1)$
+ 特别地,当 $n$ 是奇数时 $\varphi(2n) = \varphi(n)$ 。
-证明:
+- $n = \sum_{d \mid n}{\varphi(d)}$ 。
-容易发现 $x\perp y (y\bmod p \ne 0)$ 。我们试着将 $x$ 划分为长度为 $p$ 的 $\dfrac{p^k}{p}=p^{k-1}$ 段,每一段都有 $p-1$ 个数与 $x$ 互质。所以与 $x$ 互质的数个数即为: $p^{k-1}\times(p-1)$
+ 利用 [莫比乌斯反演](./mobius.md) 相关知识可以得出。
-接下来我们证明 $\varphi(n) = n \times \prod_{i = 1}^s{\dfrac{p_i - 1}{p_i}}$
+ 也可以这样考虑:如果 $\gcd(k, n) = d$ ,那么 $\gcd(\dfrac{k}{d},\dfrac{n}{d}) = 1, ( k < n )$。
-$$
-\because n=\prod_{i=1}^{n} p_i^{k_i} \\ \begin{aligned}\therefore \varphi(x) &= \prod_{i=1}^{n} \varphi(p_i^{k_i}) \\&= \prod_{i=1}^{n} (p_i-1)\times {p_i}^{k_i-1}\\&=\prod_{i=1}^{n} {p_i}^{k_i} \times(1 - \frac{1}{p_i})\\&=x~ \prod_{i=1}^{n} (1- \frac{1}{p_i})\end{aligned}
-$$
+ 如果我们设 $f(x)$ 表示 $\gcd(k, n) = x$ 的数的个数,那么 $n = \sum_{i = 1}^n{f(i)}$ 。
-## 欧拉函数的一些性质
+ 根据上面的证明,我们发现, $f(x) = \varphi(\dfrac{n}{x})$ ,从而 $n = \sum_{d \mid n}\varphi(\dfrac{n}{d})$ 。注意到约数 $d$ 和 $\dfrac{n}{d}$ 具有对称性,所以上式化为 $n = \sum_{d \mid n}\varphi(d)$ 。
+
+- 若 $n = p^k$ ,其中 $p$ 是质数,那么 $\varphi(n) = p^k - p^{k - 1}$ 。
+ (根据定义可知)
-- 欧拉函数是积性函数。
+* 由唯一分解定理, 设 $n = \prod_{i=1}^{n}p_i^{k_i}$ , 其中 $p_i$ 是质数, 有$\varphi(n) = n \times \prod_{i = 1}^s{\dfrac{p_i - 1}{p_i}}$ 。
- 积性是什么意思呢?如果有 $\gcd(a, b) = 1$ ,那么 $\varphi(a \times b) = \varphi(a) \times \varphi(b)$ 。
+ 证明:
- 特别地,当 $n$ 是奇数时 $\varphi(2n) = \varphi(n)$ 。
+ * 引理:设 $p$为任意质数, 那么 $\varphi(p^k)=p^{k-1}\times(p-1)$ 。
-- $n = \sum_{d \mid n}{\varphi(d)}$
+ 证明:显然对于从1到$p^k$的所有数中, 除了$p^{k-1}$个$p$的倍数以外其它数都与$p^k$互素, 故$\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}=p^{k-1}\times(p-1)$, 证毕。
- 利用 [莫比乌斯反演](./mobius.md) 相关知识可以得出。
+ 接下来我们证明 $\varphi(n) = n \times \prod_{i = 1}^s{\dfrac{p_i - 1}{p_i}}$ 。由唯一分解定理与$\varphi(x)$函数的积性
- 也可以这样考虑:如果 $\gcd(k, n) = d$ ,那么 $\gcd(\frac{k}{d},\frac{n}{d}) = 1$ 。( $k < n$ )
+
- 如果我们设 $f(x)$ 表示 $\gcd(k, n) = x$ 的数的个数,那么 $n = \sum_{i = 1}^n{f(i)}$ 。
+$$
+\begin{aligned}
+ \varphi(n) &= \prod_{i=1}^{s} \varphi(p_i^{k_i}) \\
+ &= \prod_{i=1}^{s} (p_i-1)\times {p_i}^{k_i-1}\\
+ &=\prod_{i=1}^{s} {p_i}^{k_i} \times(1 - \frac{1}{p_i})\\
+ &=n~ \prod_{i=1}^{s} (1- \frac{1}{p_i})
+ &\square
+\end{aligned}
+$$
- 根据上面的证明,我们发现, $f(x) = \varphi(\frac{n}{x})$ ,从而 $n = \sum_{d \mid n}\varphi(\frac{n}{d})$ 。注意到约数 $d$ 和 $\frac{n}{d}$ 具有对称性,所以上式化为 $n = \sum_{d \mid n}\varphi(d)$ 。
-- 若 $n = p^k$ ,其中 $p$ 是质数,那么 $\varphi(n) = p^k - p^{k - 1}$ 。
- (根据定义可知)
## 如何求欧拉函数值