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Update mobius.md
authorDing Siyuan <294873684@qq.com>
Wed, 29 Aug 2018 06:02:40 +0000 (14:02 +0800)
committerGitHub <noreply@github.com>
Wed, 29 Aug 2018 06:02:40 +0000 (14:02 +0800)
docs/math/mobius.md

index 792c863..be48726 100644 (file)
@@ -7,11 +7,11 @@
 \r
 ## 积性函数 ##\r
 \r
-#### 定义 ####\r
+### 定义 ###\r
 \r
 &emsp;&emsp;若 $\gcd(x,y)=1$ 且 $f(xy)=f(x)f(y)$,则 $f(n)$ 为积性函数。\r
 \r
-#### 性质 ####\r
+### 性质 ###\r
 \r
 &emsp;&emsp;若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 均为积性函数,则以下函数也为积性函数:\r
 $$\r
@@ -23,7 +23,7 @@ h(x)&=\sum_{d|x}f(d)g(\frac{x}{d})
 \end{align*}\r
 $$\r
 \r
-#### 例子 ####\r
+### 例子 ###\r
 $$\r
 \qquad\begin{array}\r
 \text{约数个数函数}&d(n)=\displaystyle\sum_{d|n}1\\\r
@@ -43,16 +43,16 @@ $$
 \r
 ## Dirichlet 卷积 ##\r
 \r
-#### 定义 ####\r
+### 定义 ###\r
 \r
 &emsp;&emsp;定义两个数论函数 $f,g$ 的 $\text{Dirichlet}$ 卷积为$$(f*g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$$\r
 \r
-#### 性质 ####\r
+### 性质 ###\r
 \r
 &emsp;&emsp;$\text{Dirichlet}$ 卷积满足交换律和结合律。\r
 &emsp;&emsp;其中 $\epsilon$ 为 $\text{Dirichlet}$ 卷积的单位元(任何函数卷 $\epsilon$ 都为其本身)\r
 \r
-#### 例子 ####\r
+### 例子 ###\r
 $$\r
 \begin{align*}\r
 \epsilon=\mu*1&\Leftrightarrow\epsilon(n)=\sum_{d|n}\mu(d)\\\r
@@ -66,11 +66,11 @@ $$
 \r
 ## 莫比乌斯函数 ##\r
 \r
-#### 定义 ####\r
+### 定义 ###\r
 \r
 &emsp;&emsp;$\mu$ 为莫比乌斯函数\r
 \r
-#### 性质 ####\r
+### 性质 ###\r
 \r
 &emsp;&emsp;莫比乌斯函数不但是积性函数,还有如下性质:\r
 $$\r
@@ -82,7 +82,7 @@ $$
 \end{cases}\r
 $$\r
 \r
-#### 证明 ####\r
+### 证明 ###\r
 $$\r
 \epsilon(n)=\r
 \begin{cases}\r
@@ -96,7 +96,7 @@ $$
 &emsp;&emsp;那么 $\displaystyle\sum_{d|n}\mu(d)=\sum_{d|n'}\mu(d)=\sum_{i=0}^k C_k^i\cdot(-1)^k$\r
 &emsp;&emsp;根据二项式定理,易知该式子的值在 $k=0$ 即 $n=1$ 时值为 $1$ 否则为 $0$,这也同时证明了 $\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]$\r
 \r
-#### 线性筛 ####\r
+### 线性筛 ###\r
 &emsp;&emsp;由于 $\mu$ 函数为积性函数,因此可以线性筛莫比乌斯函数(线性筛基本可以求所有的积性函数,尽管方法不尽相同)。\r
 \r
 &emsp;&emsp;**代码**:\r
@@ -117,7 +117,7 @@ void getMu() {
 }\r
 ```\r
 \r
-#### 拓展 ####\r
+### 拓展 ###\r
 \r
 &emsp;&emsp;证明\r
 $$\varphi*1=\text{ID}\text{(ID 函数即 } f(x)=x\text{)}$$\r
@@ -140,7 +140,7 @@ $$
 \r
 ## 莫比乌斯反演 ##\r
 \r
-#### 公式 ####\r
+### 公式 ###\r
 \r
 &emsp;&emsp;设 $f(n),g(n)$ 为两个数论函数。\r
 &emsp;&emsp;如果有\r
@@ -149,7 +149,7 @@ $$f(n)=\sum_{d|n}g(d)$$
 &emsp;&emsp;那么有\r
 $$g(n)=\sum_{d|n}\mu(d)f(\frac{n}{d})$$\r
 \r
-#### 证明 ####\r
+### 证明 ###\r
 \r
 - **暴力计算**:\r
 \r