\r
## 积性函数 ##\r
\r
-#### 定义 ####\r
+### 定义 ###\r
\r
  若 $\gcd(x,y)=1$ 且 $f(xy)=f(x)f(y)$,则 $f(n)$ 为积性函数。\r
\r
-#### 性质 ####\r
+### 性质 ###\r
\r
  若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 均为积性函数,则以下函数也为积性函数:\r
$$\r
\end{align*}\r
$$\r
\r
-#### 例子 ####\r
+### 例子 ###\r
$$\r
\qquad\begin{array}\r
\text{约数个数函数}&d(n)=\displaystyle\sum_{d|n}1\\\r
\r
## Dirichlet 卷积 ##\r
\r
-#### 定义 ####\r
+### 定义 ###\r
\r
  定义两个数论函数 $f,g$ 的 $\text{Dirichlet}$ 卷积为$$(f*g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$$\r
\r
-#### 性质 ####\r
+### 性质 ###\r
\r
  $\text{Dirichlet}$ 卷积满足交换律和结合律。\r
  其中 $\epsilon$ 为 $\text{Dirichlet}$ 卷积的单位元(任何函数卷 $\epsilon$ 都为其本身)\r
\r
-#### 例子 ####\r
+### 例子 ###\r
$$\r
\begin{align*}\r
\epsilon=\mu*1&\Leftrightarrow\epsilon(n)=\sum_{d|n}\mu(d)\\\r
\r
## 莫比乌斯函数 ##\r
\r
-#### 定义 ####\r
+### 定义 ###\r
\r
  $\mu$ 为莫比乌斯函数\r
\r
-#### 性质 ####\r
+### 性质 ###\r
\r
  莫比乌斯函数不但是积性函数,还有如下性质:\r
$$\r
\end{cases}\r
$$\r
\r
-#### 证明 ####\r
+### 证明 ###\r
$$\r
\epsilon(n)=\r
\begin{cases}\r
  那么 $\displaystyle\sum_{d|n}\mu(d)=\sum_{d|n'}\mu(d)=\sum_{i=0}^k C_k^i\cdot(-1)^k$\r
  根据二项式定理,易知该式子的值在 $k=0$ 即 $n=1$ 时值为 $1$ 否则为 $0$,这也同时证明了 $\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]$\r
\r
-#### 线性筛 ####\r
+### 线性筛 ###\r
  由于 $\mu$ 函数为积性函数,因此可以线性筛莫比乌斯函数(线性筛基本可以求所有的积性函数,尽管方法不尽相同)。\r
\r
  **代码**:\r
}\r
```\r
\r
-#### 拓展 ####\r
+### 拓展 ###\r
\r
  证明\r
$$\varphi*1=\text{ID}\text{(ID 函数即 } f(x)=x\text{)}$$\r
\r
## 莫比乌斯反演 ##\r
\r
-#### 公式 ####\r
+### 公式 ###\r
\r
  设 $f(n),g(n)$ 为两个数论函数。\r
  如果有\r
  那么有\r
$$g(n)=\sum_{d|n}\mu(d)f(\frac{n}{d})$$\r
\r
-#### 证明 ####\r
+### 证明 ###\r
\r
- **暴力计算**:\r
\r