-当出现形如“给定$n$个整数，求这m个整数能拼凑出多少的其他整数($n$个整数可以重复取)”，以及“给定$n$个整数，求这$n$个整数不能拼凑出的最小（最大）的整数”的问题时可以使用同余最短路的方法。
+当出现形如“给定 $n$ 个整数，求这 m 个整数能拼凑出多少的其他整数（ $n$ 个整数可以重复取）”，以及“给定 $n$ 个整数，求这 $n$ 个整数不能拼凑出的最小（最大）的整数”的问题时可以使用同余最短路的方法。
同余最短路利用同余来构造一些状态，可以达到优化空间复杂度的目的。
-类比[差分约束](./diff-constraints.md)方法，利用同余构造的这些状态可以看作单源最短路中的点。同余最短路的状态转移通常是这样的$f(i+y) = f(i) + y$，类似单源最短路中$f(v) = f(u) +edge(u,v)$。
+类比 [差分约束](./diff-constraints.md) 方法，利用同余构造的这些状态可以看作单源最短路中的点。同余最短路的状态转移通常是这样的 $f(i+y) = f(i) + y$ ，类似单源最短路中 $f(v) = f(u) +edge(u,v)$ 。
-## 例题
+## 例题
???+note "[P3403 跳楼机](https://www.luogu.com.cn/problem/P3403)"
- 题目大意: 给定$x，y，z，h$，对于$k \in [1,h]$ ，有多少个$k$能够满足$ax+by+cz=k$。
+ 题目大意：给定 $x，y，z，h$ ，对于 $k \in [1,h]$ ，有多少个 $k$ 能够满足 $ax+by+cz=k$ 。
-不妨假设$x < y < z $。
+不妨假设 $x < y < z$ 。
-令$d_i$为只通过**操作2**和**操作3**能够达到的最低楼层$p$，并且满足$p\mod x=i$。
+令 $d_i$ 为只通过 **操作 2** 和 **操作 3** 能够达到的最低楼层 $p$ ，并且满足 $p\mod x=i$ 。
可以得到两个状态：
-- $i \xrightarrow{y} (i+y) \mod x $
+- $i \xrightarrow{y} (i+y) \mod x$
-- $i \xrightarrow{z} (i+z) \mod x $
+- $i \xrightarrow{z} (i+z) \mod x$
-注意通常选取一组$a_i$中最小的那个数对它取模，也就是此处的$x$，这样可以尽量减小空间复杂度(剩余系最小)。
+注意通常选取一组 $a_i$ 中最小的那个数对它取模，也就是此处的 $x$ ，这样可以尽量减小空间复杂度（剩余系最小）。
那么实际上相当于执行了最短路中的建边操作：
-`add(i, (i+y) % x, y)`
+ `add(i, (i+y) % x, y)`
-`add(i, (i+z) % x, z)`
+ `add(i, (i+z) % x, z)`
-接下来只需要求出$d_0, d_1, d_2, \dots, d_{x-1}$，只需要跑一次最短路就可求出相应的$d_i$。答案即为：
+接下来只需要求出 $d_0, d_1, d_2, \dots, d_{x-1}$ ，只需要跑一次最短路就可求出相应的 $d_i$ 。答案即为：
$$
\sum_{i=0}^{x-1}\frac{h-d_i}{x} + 1
const int INF = 0x3f3f3f3f;
ll h, x, y, z;
- ll head[maxn<<1], tot;
+ ll head[maxn << 1], tot;
ll dis[maxn], vis[maxn];
queue<int> q;
struct edge {
- ll to, next, w;
- } e[maxn<<1];
+ ll to, next, w;
+ } e[maxn << 1];
void add(ll u, ll v, ll w) {
- e[++tot] = edge{v, head[u], w};
- head[u] = tot;
+ e[++tot] = edge{v, head[u], w};
+ head[u] = tot;
}
void spfa() {
- dis[1] =1;
- vis[1] = 1;
- q.push(1);
- while (!q.empty()) {
- int u = q.front();q.pop();
- vis[u] = 0;
- for (int i = head[u]; i; i = e[i].next) {
- int v = e[i].to, w = e[i].w;
- if (dis[v] > dis[u] + w) {
- dis[v] = dis[u] + w;
- if (!vis[v]) {
- q.push(v);
- vis[v] = 1;
- }
- }
+ dis[1] = 1;
+ vis[1] = 1;
+ q.push(1);
+ while (!q.empty()) {
+ int u = q.front();
+ q.pop();
+ vis[u] = 0;
+ for (int i = head[u]; i; i = e[i].next) {
+ int v = e[i].to, w = e[i].w;
+ if (dis[v] > dis[u] + w) {
+ dis[v] = dis[u] + w;
+ if (!vis[v]) {
+ q.push(v);
+ vis[v] = 1;
}
+ }
}
+ }
}
int main() {
- memset(dis, INF, sizeof(dis));
- scanf("%lld", &h);
- scanf("%lld %lld %lld", &x, &y, &z);
- if (x == 1 || y == 1 || z == 1) {printf("%d\n", h); return 0;}
- for (int i = 0; i < x; i ++) {
- add(i, (i + z) % x, z);
- add(i, (i + y) % x, y);
- }
- spfa();
- ll ans = 0;
- for (int i = 0; i < x; i ++) {
- if (h >= dis[i]) ans += ( h - dis[i] ) / x + 1;
- }
- printf("%lld\n", ans);
+ memset(dis, INF, sizeof(dis));
+ scanf("%lld", &h);
+ scanf("%lld %lld %lld", &x, &y, &z);
+ if (x == 1 || y == 1 || z == 1) {
+ printf("%d\n", h);
return 0;
+ }
+ for (int i = 0; i < x; i++) {
+ add(i, (i + z) % x, z);
+ add(i, (i + y) % x, y);
+ }
+ spfa();
+ ll ans = 0;
+ for (int i = 0; i < x; i++) {
+ if (h >= dis[i]) ans += (h - dis[i]) / x + 1;
+ }
+ printf("%lld\n", ans);
+ return 0;
}
```
## 习题
-[洛谷 P3403 跳楼机](https://www.luogu.com.cn/problem/P3403)
+ [洛谷 P3403 跳楼机](https://www.luogu.com.cn/problem/P3403)
-[洛谷 P2662 牛场围栏](https://www.luogu.com.cn/problem/P2662)
+ [洛谷 P2662 牛场围栏](https://www.luogu.com.cn/problem/P2662)
-[[国家集训队] 墨墨的等式](https://www.luogu.com.cn/problem/P2371)
+ [\[国家集训队\] 墨墨的等式](https://www.luogu.com.cn/problem/P2371)
-[「NOIP2018」货币系统](https://loj.ac/problem/2951)
\ No newline at end of file
+ [「NOIP2018」货币系统](https://loj.ac/problem/2951)
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