From: sshwy <jy.cat@qq.com>
Date: Wed, 17 Jul 2019 14:31:15 +0000 (+0800)
Subject: 添加Stern-Brocot树和Farey序列简介
X-Git-Url: http://git.osdn.net/view?a=commitdiff_plain;h=1161c649837a4ba1b8854ef6a142266905331cfd;p=oi-wiki%2Fmain.git

添加Stern-Brocot树和Farey序列简介
---

diff --git a/docs/misc/images/stern-brocot1.png b/docs/misc/images/stern-brocot1.png
new file mode 100644
index 00000000..8f1adcb3
Binary files /dev/null and b/docs/misc/images/stern-brocot1.png differ
diff --git a/docs/misc/stern-brocot.md b/docs/misc/stern-brocot.md
new file mode 100644
index 00000000..3e0bd2fa
--- /dev/null
+++ b/docs/misc/stern-brocot.md
@@ -0,0 +1,127 @@
+Stern-Brocot 树是一种维护分数的优雅的数据结构。它分别由 Moritz Stern 在 1858 年和 Achille Brocot 在 1861 年发现这个结构。
+
+# 概述
+
+Stern-Borcot 树从两个简单的分数开始：
+
+$$
+\frac{0}{1}, \frac{1}{0}
+$$
+
+这个 $\frac{1}{0}$ 可能看得你有点懵逼。不过我们不讨论这方面的严谨性，你只需要把它当作 $\infty$ 就行了。
+
+每次我们在相邻的两个分数 $\frac{a}{b},\frac{c}{d}$ 中间插入一个分数 $\frac{a+c}{b+d}$，这样就完成了一次迭代，得到下一个序列。于是它就会变成这样
+
+$$
+\begin{array}{c}
+\dfrac{0}{1}, \dfrac{1}{1}, \dfrac{1}{0} \\\\
+\dfrac{0}{1}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{1}, \dfrac{2}{1}, \dfrac{1}{0} \\\\
+\dfrac{0}{1}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{2}{3}, \dfrac{1}{1}, \dfrac{3}{2}, \dfrac{2}{1}, \dfrac{3}{1}, \dfrac{1}{0}
+\end{array}
+$$
+
+既然我们叫这个数据结构 Stern-Brocot 树，那么它总得有一个树的样子对吧。来一张图：
+
+![pic](./images/stern-brocot1.png)
+
+你可以把第 $i$ 层的序列当作是深度为 $i-1$ 的 Stern-Brocot 树的中序遍历。
+
+# 性质
+
+接下来讨论一下 Stern-Brocot 树的性质。
+
+## 单调性
+
+在每一层的序列中，真分数是单调递增的。
+
+略证：只需要在 $\frac{a}{b}\le \frac{c}{d}$ 的情况下证明
+
+$$
+\frac{a}{b}\le \frac{a+c}{b+d}\le \frac{c}{d}
+$$
+
+就行了。这个很容易，直接做一下代数变换即可
+
+$$
+\begin{array}{l}
+&\frac{a}{b}\le \frac{c}{d}\\
+\Rightarrow &ad\le bc\\
+\Rightarrow &ad+ab\le bc+ab\\
+\Rightarrow &\frac{a}{b}\le\frac{a+c}{b+d}
+\end{array}
+$$
+
+另一边同理可证。
+
+## 最简性
+
+序列中的分数（除了 $\frac{0}{1},\frac{1}{0}$）都是最简分数。
+
+略证：为证明最简性，我们首先证明对于序列中连续的两个分数 $\frac{a}{b},\frac{c}{d}$：
+
+$$
+bc-ad=1
+$$
+
+显然，我们只需要在 $bc-ad=1$ 的条件下证明 $\frac{a}{b}, \frac{a+c}{b+d}, \frac{c}{d}$ 的情况成立即可。
+
+$$
+a(b+d)-b(a+c)=ad-bc=1
+$$
+
+后半部分同理。证明了这个，利用扩展欧几里德定理，如果上述方程有解，显然 $\gcd(a,b)=\gcd(c,d)=1$。这样就证完了。
+
+有了上面的证明，我们可以证明 $\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$。
+
+有了这两个性质，你就可以把它当成一棵平衡树来做了。建立和查询就向平衡树一样做就行了。
+
+# 实现
+
+构建实现
+
+```cpp
+void build(int a = 0, int b = 1, int c = 1, int d = 0, int level = 1) {
+    int x = a + c, y = b + d;
+    //... output the current fraction x/y
+    //at the current level in the tree
+    build(a, b, x, y, level + 1);
+    build(x, y, c, d, level + 1);
+}
+```
+
+查询实现
+
+```cpp
+string find(int x, int y, int a = 0, int b = 1, int c = 1, int d = 0) {
+    int m = a + c, n = b + d;
+    if (x == m && y == n) return "";
+    if (x*n < y*m) return 'L' + find(x, y, a, b, m, n);
+    else return 'R' + find(x, y, m, n, c, d);
+}
+```
+
+# Farey 序列
+
+Stern-Brocot 树与 Farey 序列有着极其相似的特征。第 $i$ 个 Farey 序列记作 $F_i$，表示把分母小于等于 $i$ 的所有最简真分数按大小顺序排列形成的序列。
+
+$$
+\begin{array}{l}
+F_1=\{&\frac{0}{1},&&&&&&&&&&\frac{1}{1}&\}\\
+F_2=\{&\frac{0}{1},&&&&&\frac{1}{2},&&&&&\frac{1}{1}&\}\\
+F_3=\{&\frac{0}{1},&&&\frac{1}{3},&&\frac{1}{2},&&\frac{2}{3},&&&\frac{1}{1}&\}\\
+F_4=\{&\frac{0}{1},&&\frac{1}{4},&\frac{1}{3},&&\frac{1}{2},&&\frac{2}{3},&\frac{3}{4},&&\frac{1}{1}&\}\\
+F_5=\{&\frac{0}{1},&\frac{1}{5},&\frac{1}{4},&\frac{1}{3},&\frac{2}{5},&\frac{1}{2},&\frac{3}{5},&\frac{2}{3},&\frac{3}{4},&\frac{4}{5},&\frac{1}{1}&\}\\
+\end{array}
+$$
+
+显然，上述构建 Stern-Brocot 树的算法同样适用于构建 Farey 序列。因为 Stern-Brocot 树中的数是最简分数，因此在边界条件（分母）稍微修改一下就可以形成构造 Farey 序列的代码。你可以认为 Farey 序列 $F_i$ 是 Stern-Brocot 第 $i-1$ 次迭代后得到的序列的子序列。
+
+Farey 序列同样满足最简性和单调性，并且满足一个与 Stern-Brocot 树相似的性质：对于序列中连续的三个数 $\frac ab,\frac xy,\frac cd$，有 $x=a+c,y=b+d$。这个可以轻松证明，不再赘述。
+
+由 Farey 序列的定义，我们可以得到 $F_i$ 的长度 $L_i$ 公式为：
+
+$$
+L_i=L_{i-1}+\varphi(i)\\
+L_i=1+\sum_{k=1}^i\varphi(k)
+$$
+