From: sshwy <jy.cat@qq.com>
Date: Sat, 20 Jul 2019 04:45:24 +0000 (+0800)
Subject: 合并e-maxx的组合数的性质到此文
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合并e-maxx的组合数的性质到此文
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diff --git a/docs/math/combination.md b/docs/math/combination.md
index a95595bd..3659537a 100644
--- a/docs/math/combination.md
+++ b/docs/math/combination.md
@@ -202,26 +202,41 @@ $$
 Q_n^r = \frac{A_n^r}{r} = \frac{n!}{r \times (n-r)!}
 $$
 
-## 组合数的性质
+## 组合数性质|二项式推论
 
-由于组合数在OI中十分重要，因此我们讨论一下组合数的若干性质。
+由于组合数在OI中十分重要，因此我们讨论一下组合数的若干性质，这其中许多也是二项式的推论。
 
 $$
-C_n^m = C_{n}^{n-m}
+\binom{n}{m}=\binom{n}{n-m}\tag{1}
 $$
 
-相当于将选出的集合对全集取补集，故数值不变。
+相当于将选出的集合对全集取补集，故数值不变。(对称性)
 
 $$
-C_n^m = C_{n-1}^{m} + C_{n-1}^{m-1}
+\binom{n}{m}=\binom{n-1}{m}+\binom{n-1}{m-1}\tag{2}
 $$
 
-杨辉三角的公式表达。我们可以利用这个式子，在 $O(n^2)$ 的复杂度下推导组合数。
+组合数的递推式（杨辉三角的公式表达）。我们可以利用这个式子，在 $O(n^2)$ 的复杂度下推导组合数。
 
 $$
-C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + C_n^3 + \cdots + C_n^m = 2^n
+\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\cdots+\binom{n}{n}=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}=2^n\tag{3}
 $$
 
+这是二项式定理的特殊情况。取$a=b=1$就得到上式。
 $$
-\sum_{i=0}^m C_n^i C_m^{m-i} = C_{m+n}^m(n \geq m)
+\sum_{i=0}^m \binom{n}{i}\binom{m}{m-i} = \binom{m+n}{m}\ \ \ (n \geq m)\tag{4}
 $$
+
+拆组合数的式子，在处理某些数据结构题时会用到。
+$$
+\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}^2=\binom{2n}{n}\tag{5}
+$$
+这是$(4)$的特殊情况，取$n=m$即可。
+$$
+\sum_{i=0}^ni\binom{n}{i}=n2^{n-1}\tag{6}
+$$
+带权和的一个式子。
+$$
+\sum_{i=0}^n\binom{n-i}{i}=F_{n+1}\tag{7}
+$$
+其中$F$是斐波那契数列。
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