From: Yaoyao <jy.cat@qq.com>
Date: Fri, 5 Jul 2019 05:42:15 +0000 (+0800)
Subject: 把原来写在最大流中的定义合并到这里了
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把原来写在最大流中的定义合并到这里了
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diff --git a/docs/graph/flow.md b/docs/graph/flow.md
index 21fb1c90..f57603cd 100644
--- a/docs/graph/flow.md
+++ b/docs/graph/flow.md
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 网络流在 OI 中是显得尤为重要的。在《算法导论》中就用了 35 页来讲述网络流的知识，在这里，给大家介绍网络流中的一些基本知识。
 
-## 网络流的基本概念
+## 网络
 
-容量：网络中的每条有向边 $(x,y)$ 都有一个给定的权值，称为边的容量，记为 $c(x,y)$ 。
+首先，请分清楚**网络**与**网络流**的概念。
 
-源点、汇点：网络中的两个特殊节点。流量从源点产生，最后全部归于汇点。源点用 $S$ 表示，汇点用 $T$ 表示。
+网络是指一个有向图 $G=(V,E)$。
 
-流量：对于网络中的每条边 $(x,y)$ ， $f(x,y)$ 被称为该边的流量。流量需要满足以下三条性质：
+每条边 $(u,v)\in E$ 都有一个权值 $c(u,v)$，称之为容量（Capacity），当 $(u,v)\notin E$ 时有 $c(u,v)=0$。
 
-1.  容量限制：对于每条边，流经该边的流量不得超过该边的容量，即 $f(x,y) \leq c(x,y)$ 。
-2.  斜对称性：每条边的流量与其相反边的流量之和为 0，即 $f(x,y)=-f(y,x)$ 。
-3.  流量守恒：从源点流出的流量等于汇点流入的流量。
+其中有两个特殊的点：源点 $s\in V$ 和汇点 $t\in V,(s\neq t)$。
+
+## 流
+
+设 $f(u,v)$ 定义在二元组 $(u\in V,v\in V)$ 上的实数函数且满足
+
+1. 容量限制：对于每条边，流经该边的流量不得超过该边的容量，即，$f(u,v)\leq c(u,v)$
+2. 斜对称性：每条边的流量与其相反边的流量之和为 0，即$f(u,v)=-f(v,u)$
+3. 流守恒性：从源点流出的流量等于汇点流入的流量，即$\forall x\in V-\{s,t\},\sum_{(u,x)\in E}f(u,x)=\sum_{(x,v)\in E}f(x,v)$
+
+那么 $f$ 称为网络 $G$ 的流函数。对于 $(u,v)\in E$，$f(u,v)$ 称为边的**流量**，$c(u,v)-f(u,v)$ 称为边的**剩余容量**。整个网络的流量为 $\sum_{(s,v)\in E}f(s,v)$，即**从源点发出的所有流量之和**。
+
+一般而言也可以把网络流理解为整个图的流量。而这个流量必满足上述三个性质。
+
+*注*：流函数的完整定义为
+
+$$
+f(u,v)=\left\{\begin{split}
+&f(u,v)&,(u,v)\in E\\
+&-f(v,u)&,(v,u)\in E\\
+&0&,(u,v)\notin E,(v,u)\notin E
+\end{split}\right.
+$$
 
 ## 网络流的常见问题
 
@@ -31,4 +51,3 @@
 ## 网络流 24 题
 
 https://loj.ac/problems/tag/30
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