From: zhouyuyang2002 <54274322+zhouyuyang2002@users.noreply.github.com>
Date: Tue, 20 Aug 2019 12:07:59 +0000 (+0800)
Subject: Update rmq.md
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Update rmq.md
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diff --git a/docs/topic/rmq.md b/docs/topic/rmq.md
index 8b137891..a7300105 100644
--- a/docs/topic/rmq.md
+++ b/docs/topic/rmq.md
@@ -1 +1,115 @@
+## 简介
 
+RMQ 是英文 Range Maximum/Minimum Query 的缩写，表示区间最大（最小）值。
+
+在笔者接下来的描述中，默认初始数组大小为 $n$ 。
+
+在笔者接下来的描述中，默认时间复杂度标记方式为 $O($ 数据预处理 $)-O($ 单次询问 $)$ 。
+
+## ST 表
+
+由于 Oi wiki 中已有此部分的描述，本文仅给出 [链接](ds/sparse-table/index.md) 。这部分不再展开。
+
+时间复杂度 $O(n\log n)-O(1)$ 
+
+空间复杂度 $O(n\log n)$ 
+
+## 线段树
+
+由于 Oi wiki 中已有此部分的描述，本文仅给出 [链接](ds/seg/index.md) 。这部分不再展开。
+
+时间复杂度 $O(n)-O(\log n)$ 
+
+空间复杂度 $O(n\log n)$ 
+
+## Four Russian
+
+Four russian 是一个由四位俄罗斯籍的计算机科学家提出来的基于 ST 表的算法。
+
+在 ST 表的基础上 Four russian 算法对其做出的改进是序列分块。
+
+具体来说，我们将原数组——我们将其称之为数组 A——每 $S$ 个分成一块，总共 $n/S$ 块。
+
+对于每一块我们预处理出来块内元素的最小值，建立一个长度为 $n/S$ 的数组 B，并对数组 B 采用 ST 表的方式预处理。
+
+同时，我们对于数组 A 的每一个零散块也建立一个 ST 表。
+
+询问的时候，我们可以将询问区间划分为不超过 1 个数组 B 上的连续块区间和不超过 2 个数组 A 上的整块内的连续区间。显然这些问题我们通过 ST 表上的区间查询解决。
+
+在 $S=\log n$ 时候，预处理复杂度达到最优。为 $O((n\log n)\log n+n\log n\times\log n\times\log \log n)=O(n\log \log n)$ 
+
+时间复杂度 $O(n\log log n)-O(1)$ 
+
+空间复杂度 $O(n\log log n)$ 
+
+当然询问由于要跑三个 ST 表，该实现方法的时间复杂度较大。
+
+>一些小小的算法改进
+>我们发现，在询问的两个端点在数组 A 中属于不同的块的时候，数组 A 中块内的询问是关于每一块前缀或者后缀的询问。
+>显然这些询问可以通过预处理答案在 $O(n)$ 的时间复杂度内被解决。
+>这样子我们只需要在询问的时候进行至多一次 ST 表上的查询操作了。
+
+## 笛卡尔树以及其构造
+
+在实现更加优秀的时间复杂度之前，我们先来介绍一个数据结构：笛卡尔树。
+
+笛卡尔树  ( Cartesian tree ) 的本质是一个二叉小根/大根堆。同时笛卡尔数满足对其中序遍历的结果等于原来的数组 A 。
+
+下面是一个笛卡尔树的具体例子：
+
+![](./images/Cartesian tree.tfif)
+
+接下来笔者将讲述一个构造笛卡尔树的 $O(n)$ 算法。
+
+```
+新建一个大小为n的空栈。
+For i->1 to n
+	flag = 0
+	While 栈不为空
+		if 栈顶元素<当前元素
+			栈顶元素.右儿子=当前元素
+			break
+		else
+			栈顶元素.右儿子=当前元素.左儿子。
+			当前元素.左儿子=栈顶元素
+			栈顶元素出栈
+		当前元素入栈。
+```
+
+由于一个元素只会入栈一次，出栈一次，所以总复杂度为 $O(n)$ 。
+
+## 笛卡尔树在RMQ上的应用
+
+我们发现，原序列上两个点之间的 min/max ，等于笛卡尔树上两个点的 LCA 的权值。
+
+这也说明，我们现在需要去解决的是如何 $O(n)-O(1)$ 树上两个点之间的 LCA 的。
+
+树上 LCA 在[](graph/lca/lca.md)部分已经有描述，这里不再展开。
+
+这里我们需要采用的是基于 RMQ 的树上 LCA 算法。
+
+可能会有同学会问：为什么我们在绕了一圈之后，又回到了 RMQ 问题呢？
+
+别着急，我们来找一找这个 RMQ 问题的特殊性质：
+
+因为树的 dfs 序列的相邻两个节点互为父子关系，也就是说相邻两个节点深度差为 $\pm 1$ 。我们一般称这种相邻两个元素差为 1 的 RMQ 问题为 $\pm 1$ RMQ 问题。
+
+根据这个特性我们就可以改进 Four Russian 算法了。
+
+由于 Four russian 算法的瓶颈在于块内 RMQ 问题，我们重点去讨论块内 RMQ 问题的优化。
+
+由于相邻两个数字的差值为 $\pm 1$ ，所以在固定左端点数字时 长度不超过 $\log n$ 的右侧序列种类数为 $\Sigma_{i=1}^{i \leq \log n} 2^{i-1}$ ，而这个式子显然不超过 $n$。
+
+这启示我们可以预处理所有不超过 $n$ 种情况的 最小值-第一个元素 的值。
+
+在预处理的时候我们需要去预处理同一块内相邻两个数字之间的差，并且使用二进制将其表示出来。
+
+在询问的时候我们找到询问区间对应的二进制表示，查表得出答案。
+
+这样子 Four russian 预处理的时间复杂度就被优化到了 $O(n)$ 。
+
+结合笛卡尔树部分我们就可以实现 $O(n)-O(1)$ 的 RMQ 问题了。
+
+代码和例题由于在 LCA 部分已经给出[链接](graph/lca/lca.md)，这里不再赘述。
+
+当然由于转化步数较多，$O(n)-O(1)$ RMQ 跑的比较慢。