From 0c41433ace31ff96634b99654d186408261185dd Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Margatroid <i@margatroid.xyz>
Date: Fri, 13 Sep 2019 20:54:23 +0800
Subject: [PATCH] =?utf8?q?:pencil:=20fix(vector):=20=E4=BF=AE=E6=AD=A3?=
 =?utf8?q?=E5=90=91=E9=87=8F=E5=AD=97=E4=BD=93=E4=B8=BA=E7=B2=97=E6=96=9C?=
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MIME-Version: 1.0
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 docs/math/vector.md | 80 ++++++++++++++++++++++++++---------------------------
 1 file changed, 40 insertions(+), 40 deletions(-)

diff --git a/docs/math/vector.md b/docs/math/vector.md
index b7101486..523f0dd0 100644
--- a/docs/math/vector.md
+++ b/docs/math/vector.md
@@ -7,23 +7,23 @@
 
 ### 定义及相关概念
 
- **向量** ：既有大小又有方向的量称为向量。数学上研究的向量为 **自由向量** ，即只要不改变它的大小和方向，起点和终点可以任意平行移动的向量。记作 $\vec a$ 或 $\mathbf{a}$ 。
+ **向量** ：既有大小又有方向的量称为向量。数学上研究的向量为 **自由向量** ，即只要不改变它的大小和方向，起点和终点可以任意平行移动的向量。记作 $\vec a$ 或 $\bm{a}$ 。
 
  **有向线段** ：带有方向的线段称为有向线段。有向线段有三要素： **起点，方向，长度** ，知道了三要素，终点就唯一确定。我们用有向线段表示向量。
 
- **向量的模** ：有向线段 $\overrightarrow{AB}$ 的长度称为向量的模，即为这个向量的大小。记为： $|\overrightarrow{AB}|$ 或 $|\mathbf{a}|$ 。
+ **向量的模** ：有向线段 $\overrightarrow{AB}$ 的长度称为向量的模，即为这个向量的大小。记为： $|\overrightarrow{AB}|$ 或 $|\bm{a}|$ 。
 
- **零向量** ：模为 $0$ 的向量。零向量的方向任意。记为： $\vec 0$ 或 $\mathbf{0}$ 。
+ **零向量** ：模为 $0$ 的向量。零向量的方向任意。记为： $\vec 0$ 或 $\bm{0}$ 。
 
  **单位向量** ：模为 $1$ 的向量称为该方向上的单位向量。
 
- **平行向量** ：方向相同或相反的两个 **非零** 向量。记作： $\mathbf a\parallel \mathbf b$ 。对于多个互相平行的向量，可以任作一条直线与这些向量平行，那么任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量又叫 **共线向量** 。
+ **平行向量** ：方向相同或相反的两个 **非零** 向量。记作： $\bm a\parallel \bm b$ 。对于多个互相平行的向量，可以任作一条直线与这些向量平行，那么任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量又叫 **共线向量** 。
 
  **相等向量** ：模相等且方向相同的向量。
 
  **相反向量** ：模相等且方向相反的向量。
 
- **向量的夹角** ：已知两个非零向量 $\mathbf a,\mathbf b$ ，作 $\overrightarrow{OA}=\mathbf a,\overrightarrow{OB}=\mathbf b$ ，那么 $\theta=\angle AOB$ 就是向量 $\mathbf a$ 与向量 $\mathbf b$ 的夹角。记作： $\langle \mathbf a,\mathbf b\rangle$ 。显然当 $\theta=0$ 时两向量同向， $\theta=\pi$ 时两向量反向， $\theta=\frac{\pi}{2}$ 时我们说两向量垂直，记作 $\mathbf a\perp \mathbf b$ 。并且，我们规定 $\theta \in [0,\pi]$ 。
+ **向量的夹角** ：已知两个非零向量 $\bm a,\bm b$ ，作 $\overrightarrow{OA}=\bm a,\overrightarrow{OB}=\bm b$ ，那么 $\theta=\angle AOB$ 就是向量 $\bm a$ 与向量 $\bm b$ 的夹角。记作： $\langle \bm a,\bm b\rangle$ 。显然当 $\theta=0$ 时两向量同向， $\theta=\pi$ 时两向量反向， $\theta=\frac{\pi}{2}$ 时我们说两向量垂直，记作 $\bm a\perp \bm b$ 。并且，我们规定 $\theta \in [0,\pi]$ 。
 
 注意到平面向量具有方向性，我们并不能比较两个向量的大小（但可以比较两向量的模长）。但是两个向量可以相等。
 
@@ -44,7 +44,7 @@
 
 这样，向量的加法就具有了几何意义。并且可以验证，向量的加法满足 **交换律与结合律** 。
 
-因为实数的减法可以写成加上相反数的形式，我们考虑在向量做减法时也这么写。即： $\mathbf a-\mathbf b=\mathbf a+(-\mathbf b)$ 。
+因为实数的减法可以写成加上相反数的形式，我们考虑在向量做减法时也这么写。即： $\bm a-\bm b=\bm a+(-\bm b)$ 。
 
 这样，我们考虑共起点的向量，按照平行四边形法则做出它们的差，经过平移后可以发现 **「共起点向量的差向量」是由「减向量」指向「被减向量」的有向线段** 。
 
@@ -54,33 +54,33 @@
 
 #### 向量的数乘
 
-规定「实数 $\lambda$ 与向量 $\mathbf a$ 的积」为一个向量，这种运算就是向量的 **数乘运算** ，记作 $\lambda \mathbf a$ ，它的长度与方向规定如下：
+规定「实数 $\lambda$ 与向量 $\bm a$ 的积」为一个向量，这种运算就是向量的 **数乘运算** ，记作 $\lambda \bm a$ ，它的长度与方向规定如下：
 
-1.   $|\lambda \mathbf a|=|\lambda||\mathbf a|$ ；
-2.  当 $\lambda >0$ 时， $\lambda\mathbf a$ 与 $\mathbf a$ 同向，当 $\lambda =0$ 时， $\lambda \mathbf a=\mathbf 0$ ，当 $\lambda<0$ 时， $\lambda \mathbf a$ 与 $\mathbf a$ 方向相反。
+1.   $|\lambda \bm a|=|\lambda||\bm a|$ ；
+2.  当 $\lambda >0$ 时， $\lambda\bm a$ 与 $\bm a$ 同向，当 $\lambda =0$ 时， $\lambda \bm a=\bm 0$ ，当 $\lambda<0$ 时， $\lambda \bm a$ 与 $\bm a$ 方向相反。
 
 我们根据数乘的定义，可以验证有如下运算律：
 
 $$
-\lambda(\mu \mathbf a)=(\lambda \mu)\mathbf a\\
-(\lambda+\mu)\mathbf a=\lambda \mathbf a+\mu \mathbf a\\
-\lambda(\mathbf a+\mathbf b)=\lambda \mathbf a+\lambda \mathbf b
+\lambda(\mu \bm a)=(\lambda \mu)\bm a\\
+(\lambda+\mu)\bm a=\lambda \bm a+\mu \bm a\\
+\lambda(\bm a+\bm b)=\lambda \bm a+\lambda \bm b
 $$
 
 特别地，我们有：
 
 $$
-(-\lambda)\mathbf a=-(\lambda \mathbf a)=-\lambda(\mathbf a)\\
-\lambda(\mathbf a-\mathbf b)=\lambda \mathbf a-\lambda \mathbf b
+(-\lambda)\bm a=-(\lambda \bm a)=-\lambda(\bm a)\\
+\lambda(\bm a-\bm b)=\lambda \bm a-\lambda \bm b
 $$
 
 #### 判定两向量共线
 
-两个 **非零** 向量 $\mathbf a$ 与 $\mathbf b$ 共线 $\Leftrightarrow$ 有唯一实数 $\lambda$ ，使得 $\mathbf b=\lambda \mathbf a$ 。
+两个 **非零** 向量 $\bm a$ 与 $\bm b$ 共线 $\Leftrightarrow$ 有唯一实数 $\lambda$ ，使得 $\bm b=\lambda \bm a$ 。
 
-证明：由数乘的定义可知，对于 **非零** 向量 $\mathbf a$ ，如果存在实数 $\lambda$ ，使得 $\mathbf b=\lambda \mathbf a$ ，那么 $\mathbf a \parallel \mathbf b$ 。
+证明：由数乘的定义可知，对于 **非零** 向量 $\bm a$ ，如果存在实数 $\lambda$ ，使得 $\bm b=\lambda \bm a$ ，那么 $\bm a \parallel \bm b$ 。
 
-反过来，如果 $\mathbf a\parallel \mathbf b$ ， $\mathbf a \not = \mathbf 0$ ，且 $|\mathbf b|=\mu |\mathbf a|$ ，那么当 $\mathbf a$ 与 $\mathbf b$ 同向时， $\mathbf b=\mu \mathbf a$ ，反向时 $\mathbf b=-\mu \mathbf a$ 。
+反过来，如果 $\bm a\parallel \bm b$ ， $\bm a \not = \bm 0$ ，且 $|\bm b|=\mu |\bm a|$ ，那么当 $\bm a$ 与 $\bm b$ 同向时， $\bm b=\mu \bm a$ ，反向时 $\bm b=-\mu \bm a$ 。
 
 最后，向量的加，减，数乘统称为向量的线性运算。
 
@@ -88,7 +88,7 @@ $$
 
 #### 平面向量基本定理
 
-定理内容：如果两个向量 $\mathbf{e_1},\mathbf{e_2}$ 不共线，那么存在唯一实数对 $(x,y)$ ，使得与 $\mathbf{e_1},\mathbf{e_2}$ 共面的任意向量 $\mathbf p$ 满足 $\mathbf p=x\mathbf{e_1}+y\mathbf{e_2}$ 。
+定理内容：如果两个向量 $\bm{e_1},\bm{e_2}$ 不共线，那么存在唯一实数对 $(x,y)$ ，使得与 $\bm{e_1},\bm{e_2}$ 共面的任意向量 $\bm p$ 满足 $\mathbf p=x\bm{e_1}+y\bm{e_2}$ 。
 
 平面向量那么多，我们想用尽可能少的量表示出所有平面向量，怎么办呢？
 
@@ -104,7 +104,7 @@ $$
 
 如果取与横轴与纵轴方向相同的单位向量 $i,j$ 作为一组基底，根据平面向量基本定理，平面上的所有向量与有序实数对 $(x,y)$ 一一对应。
 
-而有序实数对 $(x,y)$ 与平面直角坐标系上的点一一对应，那么我们作 $\overrightarrow{OP}=\mathbf p$ ，那么终点 $P(x,y)$ 也是唯一确定的。由于我们研究的都是自由向量，可以自由平移起点，这样，在平面直角坐标系里，每一个向量都可以用有序实数对唯一表示。
+而有序实数对 $(x,y)$ 与平面直角坐标系上的点一一对应，那么我们作 $\overrightarrow{OP}=\bm p$ ，那么终点 $P(x,y)$ 也是唯一确定的。由于我们研究的都是自由向量，可以自由平移起点，这样，在平面直角坐标系里，每一个向量都可以用有序实数对唯一表示。
 
 ### 平面向量的坐标运算
 
@@ -112,12 +112,12 @@ $$
 
 由平面向量的线性运算，我们可以推导其坐标运算，主要方法是将坐标全部化为用基底表示，然后利用运算律进行合并，之后表示出运算结果的坐标形式。
 
-若两向量 $\mathbf a=(m,n)$ , $\mathbf b=(p,q)$ ，则：
+若两向量 $\bm a=(m,n)$ , $\bm b=(p,q)$ ，则：
 
 $$
-\mathbf a+\mathbf b=(m+p,n+q)\\
-\mathbf a-\mathbf b=(m-p,n-q)\\
-k\mathbf a=(km,kn)
+\bm a+\bm b=(m+p,n+q)\\
+\bm a-\bm b=(m-p,n-q)\\
+k\bm a=(km,kn)
 $$
 
 #### 求一个向量的坐标表示
@@ -134,13 +134,13 @@ $$
 
 ### 向量的数量积
 
-已知两个向量 $\mathbf a,\mathbf b$ ，它们的夹角为 $\theta$ ，那么：
+已知两个向量 $\bm a,\bm b$ ，它们的夹角为 $\theta$ ，那么：
 
 $$
-\mathbf a \cdot \mathbf b=|\mathbf a||\mathbf b|\cos \theta
+\bm a \cdot \bm b=|\bm a||\bm b|\cos \theta
 $$
 
-就是这两个向量的 **数量积** ，也叫 **点积** 或 **内积** 。其中称 $|\mathbf a|\cos \theta$ 为 $\mathbf a$ 在 $\mathbf b$ 方向上的投影。数量积的几何意义即为：数量积 $\mathbf a \cdot \mathbf b$ 等于 $\mathbf a$ 的模与 $\mathbf b$ 在 $\mathbf a$ 方向上的投影的乘积。
+就是这两个向量的 **数量积** ，也叫 **点积** 或 **内积** 。其中称 $|\bm a|\cos \theta$ 为 $\bm a$ 在 $\bm b$ 方向上的投影。数量积的几何意义即为：数量积 $\bm a \cdot \bm b$ 等于 $\bm a$ 的模与 $\bm b$ 在 $\bm a$ 方向上的投影的乘积。
 
 我们发现，这种运算得到的结果是一个实数，为标量，并不属于向量的线性运算。
 
@@ -148,23 +148,23 @@ $$
 
 #### 判定两向量垂直
 
- $\mathbf a \perp \mathbf b$  $\Leftrightarrow$  $\mathbf a\cdot \mathbf b=0$ 
+ $\bm a \perp \bm b$  $\Leftrightarrow$  $\bm a\cdot \bm b=0$ 
 
 #### 判定两向量共线
 
- $\mathbf a = \lambda \mathbf b$  $\Leftrightarrow$  $\mathbf a\cdot \mathbf b=|\mathbf a||\mathbf b|$ 
+ $\bm a = \lambda \bm b$  $\Leftrightarrow$  $\bm a\cdot \bm b=|\bm a||\bm b|$ 
 
 #### 数量积的坐标运算
 
-若 $\mathbf a=(m,n),\mathbf b=(p,q),$ 则 $\mathbf a\cdot \mathbf b=mp+nq$ 
+若 $\bm a=(m,n),\bm b=(p,q),$ 则 $\bm a\cdot \bm b=mp+nq$ 
 
 #### 向量的模
 
- $|\mathbf a|=\sqrt {m^2+n^2}$ 
+ $|\bm a|=\sqrt {m^2+n^2}$ 
 
 #### 两向量的夹角
 
- $\cos \theta=\cfrac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{|\mathbf a||\mathbf b|}$ 
+ $\cos \theta=\cfrac{\bm a\cdot\bm b}{|\bm a||\bm b|}$ 
 
 ### 扩展
 
@@ -178,41 +178,41 @@ $$
 
 #### 向量积
 
-我们定义向量 $\mathbf a,\mathbf b$ 的向量积为一个向量，记为 $\mathbf a\times \mathbf b$ ，其模与方向定义如下：
+我们定义向量 $\bm a,\bm b$ 的向量积为一个向量，记为 $\bm a\times \bm b$ ，其模与方向定义如下：
 
-1.   $|\mathbf a\times \mathbf b|=|\mathbf a||\mathbf b|\sin \langle \mathbf a,\mathbf b\rangle$ ；
-2.   $\mathbf a\times \mathbf b$ 与 $\mathbf a,\mathbf b$ 都垂直，且 $\mathbf a,\mathbf b,\mathbf a\times \mathbf b$ 符合右手法则。
+1.   $|\bm a\times \bm b|=|\bm a||\bm b|\sin \langle \bm a,\bm b\rangle$ ；
+2.   $\bm a\times \bm b$ 与 $\bm a,\bm b$ 都垂直，且 $\bm a,\bm b,\bm a\times \bm b$ 符合右手法则。
 
 向量积也叫外积。
 
-由于向量积涉及到空间几何与线性代数知识，所以并未在高中课本中出现。然而注意到向量积的模，联想到三角形面积计算公式 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ ，我们可以发现向量积的几何意义是： ** $|\mathbf a\times \mathbf b|$ 是以 $\mathbf a,\mathbf b$ 为邻边的平行四边形的面积** 。
+由于向量积涉及到空间几何与线性代数知识，所以并未在高中课本中出现。然而注意到向量积的模，联想到三角形面积计算公式 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ ，我们可以发现向量积的几何意义是： ** $|\bm a\times \bm b|$ 是以 $\bm a,\bm b$ 为邻边的平行四边形的面积** 。
 
 知道这个，多边形面积就很好算了。
 
-我们有一个不完全的坐标表示：记 $\mathbf a=(m,n),\mathbf b=(p,q)$ ，那么两个向量的向量积的竖坐标为 $mq-np$ ，我们根据右手法则和竖坐标符号可以推断出 $\mathbf b$ 相对于 $\mathbf a$ 的方向，若在逆时针方向竖坐标为正值，反之为负值，简记为 **顺负逆正** 。
+我们有一个不完全的坐标表示：记 $\bm a=(m,n),\bm b=(p,q)$ ，那么两个向量的向量积的竖坐标为 $mq-np$ ，我们根据右手法则和竖坐标符号可以推断出 $\bm b$ 相对于 $\bm a$ 的方向，若在逆时针方向竖坐标为正值，反之为负值，简记为 **顺负逆正** 。
 
 #### 向量旋转
 
-设 $\mathbf a=(x,y)$ ，倾角为 $\theta$ ，长度为 $l=\sqrt{x^2+y^2}$ 。则 $x=l\cos \theta,y=l\sin\theta$ 。令其逆时针旋转 $\alpha$ 度角，得到向量 $\mathbf b=(l\cos(\theta+\alpha),l\sin(\theta+\alpha))$ 。
+设 $\bm a=(x,y)$ ，倾角为 $\theta$ ，长度为 $l=\sqrt{x^2+y^2}$ 。则 $x=l\cos \theta,y=l\sin\theta$ 。令其逆时针旋转 $\alpha$ 度角，得到向量 $\bm b=(l\cos(\theta+\alpha),l\sin(\theta+\alpha))$ 。
 
 ![](./images/misc1.png)
 
 由三角恒等变换得，
 
 $$
-\mathbf{b}=(l(\cos\theta\cos\alpha-\sin\theta\sin\alpha),l(\sin\theta\cos\alpha+\cos\theta\sin\alpha))
+\bm{b}=(l(\cos\theta\cos\alpha-\sin\theta\sin\alpha),l(\sin\theta\cos\alpha+\cos\theta\sin\alpha))
 $$
 
 化简，
 
 $$
-\mathbf b=(l\cos\theta\cos\alpha-l\sin\theta\sin\alpha,l\sin\theta\cos\alpha+l\cos\theta\sin\alpha)
+\bm b=(l\cos\theta\cos\alpha-l\sin\theta\sin\alpha,l\sin\theta\cos\alpha+l\cos\theta\sin\alpha)
 $$
 
 把上面的 $x,y$ 代回来得
 
 $$
-\mathbf b=(x\cos\alpha-y\sin\alpha,y\cos\alpha+x\sin\alpha)
+\bm b=(x\cos\alpha-y\sin\alpha,y\cos\alpha+x\sin\alpha)
 $$
 
 即使不知道三角恒等变换，这个式子也很容易记下来。
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2.11.0