From 3f7d7255d47dbe47fac16a6a5d94f84d8d5e1ca3 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Siyuan <294873684@qq.com>
Date: Wed, 29 Aug 2018 21:09:55 +0800
Subject: [PATCH] Update simulated-annealing.md

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 docs/misc/simulated-annealing.md | 107 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 107 insertions(+)

diff --git a/docs/misc/simulated-annealing.md b/docs/misc/simulated-annealing.md
index e69de29b..3f043069 100644
--- a/docs/misc/simulated-annealing.md
+++ b/docs/misc/simulated-annealing.md
@@ -0,0 +1,107 @@
+## 简介 ##
+
+&emsp;&emsp;模拟退火是一种随机化算法。当一个问题的方案数量极大（甚至是无穷的）而且不是一个单峰函数时，我们常使用模拟退火求解。
+
+---
+
+## 实现 ##
+
+&emsp;&emsp;根据爬山算法（详见 [爬山算法 - OI Wiki](https://oi-wiki.org/misc/hill-climbing/)）的过程，我们发现：对于一个当前最优解附近的非最优解，爬山算法直接舍去了这个解。而很多情况下，我们需要去接受这个非最优解从而跳出这个局部最优解，即为模拟退火算法。
+
+> **什么是退火？**（选自百度百科）
+>
+> 退火是一种金属热处理工艺，指的是将金属缓慢加热到一定温度，保持足够时间，然后以适宜速度冷却。目的是降低硬度，改善切削加工性；消除残余应力，稳定尺寸，减少变形与裂纹倾向；细化晶粒，调整组织，消除组织缺陷。准确的说，退火是一种对材料的热处理工艺，包括金属材料、非金属材料。而且新材料的退火目的也与传统金属退火存在异同。
+
+&emsp;&emsp;由于退火的规律引入了更多随机因素，那么我们得到最优解的概率会大大增加。于是我们可以去模拟这个过程，将目标函数作为能量函数。
+
+### 模拟退火算法描述 ###
+
+&emsp;&emsp;先用一句话概括：如果新状态的解更优则修改答案，否则以一定概率接受新状态。
+
+&emsp;&emsp;我们定义当前温度为 $T$，新状态与已知状态（由已知状态通过随机的方式得到）之间的能量（值）差为 $\Delta E$（$\Delta E\geqslant 0$），则发生状态转移（修改最优解）的概率为
+
+$$
+P(\Delta E)=
+\begin{cases}
+1&\text{新状态更优}\\
+e^\frac{-\Delta E}{T}&\text{新状态更劣}
+\end{cases}
+$$
+
+&emsp;&emsp;**注意**：我们有时为了使得到的解更有质量，会在模拟退火结束后，以当前温度在得到的解附近多次随机状态，尝试得到更优的解（其过程与模拟退火相似）。
+
+### 如何退火（降温）？ ###
+
+&emsp;&emsp;模拟退火时我们有三个参数：初始温度 $T_0$，降温系数 $d$，终止温度 $T_k$。其中 $T_0$ 是一个比较大的数，$d$ 是一个非常接近 $1$ 但是小于 $1$ 的数，$T_k$ 是一个接近 $0$ 的正数。
+
+&emsp;&emsp;首先让温度 $T=T_0$，然后按照上述步骤进行一次转移尝试，再让 $T=d\cdot T$。当 $T<T_k$ 时模拟退火过程结束，当前最优解即为最终的最优解。
+
+&emsp;&emsp;引用一张 [Wiki - Simulated annealing](https://en.wikipedia.org/wiki/Simulated_annealing) 的图片（随着温度的降低，跳跃越来越不随机，最优解也越来越稳定）。
+
+![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d5/Hill_Climbing_with_Simulated_Annealing.gif)
+
+---
+
+## 代码 ##
+
+&emsp;&emsp;此处代码以 [「BZOJ 3680」吊打XXX](https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3680)（求 $n$ 个点的带权类费马点）为例。
+
+```cpp
+#include <cstdio>
+#include <cmath>
+#include <cstdlib>
+#include <ctime>
+
+const int N=10005;
+int n,x[N],y[N],w[N];
+double ansx,ansy,dis;
+
+double Rand() {
+    return (double)rand()/RAND_MAX;
+}
+double calc(double xx,double yy) {
+    double res=0;
+    for(int i=1;i<=n;++i) {
+        double dx=x[i]-xx,dy=y[i]-yy;
+        res+=sqrt(dx*dx+dy*dy)*w[i];
+    }
+    if(res<dis) dis=res,ansx=xx,ansy=yy;
+    return res;
+}
+void simulateAnneal() {
+    double t=100000;
+    double nowx=ansx,nowy=ansy;
+    while(t>0.001) {
+        double nxtx=nowx+t*(Rand()*2-1);
+        double nxty=nowy+t*(Rand()*2-1);
+        double delta=calc(nxtx,nxty)-calc(nowx,nowy);
+        if(exp(-delta/t)>Rand()) nowx=nxtx,nowy=nxty;
+        t*=0.97;
+    }
+    for(int i=1;i<=1000;++i) {
+        double nxtx=ansx+t*(Rand()*2-1);
+        double nxty=ansy+t*(Rand()*2-1);
+        calc(nxtx,nxty);
+    }
+}
+int main() {
+    srand(time(0));
+    scanf("%d",&n);
+    for(int i=1;i<=n;++i) {
+        scanf("%d%d%d",&x[i],&y[i],&w[i]);
+        ansx+=x[i],ansy+=y[i];
+    }
+    ansx/=n,ansy/=n,dis=calc(ansx,ansy);
+    simulateAnneal();
+    printf("%.3lf %.3lf\n",ansx,ansy);
+    return 0;
+}
+```
+
+---
+
+## 习题 ##
+
+- [「BZOJ 3680」吊打XXX](https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3680)
+- [「JSOI 2016」炸弹攻击](https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4852)
+- [「HAOI 2006」均分数据](https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2428)
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2.11.0