From 6fcd7d1ef38c51bf05881fecfa8471343f2a6053 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: sshwy <jy.cat@qq.com>
Date: Thu, 25 Jul 2019 22:57:50 +0800
Subject: [PATCH] =?utf8?q?=E6=B7=BB=E5=8A=A0=E7=89=9B=E9=A1=BF=E8=BF=AD?=
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 docs/math/newton-method.md | 88 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 mkdocs.yml                 |  1 +
 2 files changed, 89 insertions(+)
 create mode 100644 docs/math/newton-method.md

diff --git a/docs/math/newton-method.md b/docs/math/newton-method.md
new file mode 100644
index 00000000..82649c1b
--- /dev/null
+++ b/docs/math/newton-method.md
@@ -0,0 +1,88 @@
+本文介绍牛顿迭代法（Newton's method for finding roots）求解方程的近似解。牛顿在 1664 年发明了这个方法。具体的任务是，对于在 $[a,b]$ 上连续且单调的函数 $f(x)$，求 $f(x)=0$ 的近似解。
+
+## 算法描述
+
+初始时我们从给定的 $f(x)$ 和一个粗略的近似解 $x_0$ 开始。
+
+假设我们目前的近似解是 $x_i$，那么为了得到更优的近似解，我们画出经过 $(x_0,f(x_0))$ 的与 $f(x)$ 相切的直线 $l$，将 $l$ 与 $x$ 轴的交点横坐标记为 $x_{i+1}$。并重复这个迭代的过程。
+
+上述过程可以表示为以下递推式：
+
+$$
+ x_{i+1} = x_i - \frac{f(x_i)}{f^\prime(x_i)}
+$$
+
+
+直观地说，如果 $f(x)$ 比较平滑，那么随着迭代次数的增加，$x_i$ 会越来越逼近方程的解。
+
+牛顿迭代法的收敛率是平方级别的，这意味着每次迭代后近似解的精确数位会翻倍。
+
+## 求解平方根
+
+我们尝试用牛顿迭代法求解平方根。设 $f(x)=x^2-n$，这个方程的近似解就是 $\sqrt{n}$ 的近似解。于是我们得到
+
+$$
+x_{i+1}=x_i-\frac{x_i^2-n}{2x_i}=\frac{x_i+\frac{n}{x_i}}{2}
+$$
+
+在实现的侯注意设置合适的精度。代码如下
+
+```cpp
+double sqrt_newton(double n) {
+	const double eps = 1E-15;
+	double x = 1;
+	while(1){
+		double nx =(x+n/x)/2;
+		if (abs(x - nx) < eps) break;
+		x = nx;
+	}
+	return x;
+}
+```
+
+## 求解整数平方根
+
+尽管我们可以调用`sqrt()` 获取平方根的值，但我们还是讲一下牛顿迭代法的变种算法，用于求解 $x^2\le n$ 的 $x$ 的最大整数解。我们仍然考虑一个类似于牛顿迭代的过程，但需要在边界条件上稍作修改。如果 $x$ 在迭代的过程中上一次迭代值得近似解变小，而这一次迭代使得近似解变大，那么我们就不进行这次迭代，退出循环。
+
+```cpp
+int isqrt_newton(int n) {
+	int x = 1;
+	bool decreased = false;
+	for (;;) {
+		int nx = (x + n / x) >> 1;
+		if (x == nx || nx > x && decreased)
+			break;
+		decreased = nx < x;
+		x = nx;
+	}
+	return x;
+}
+```
+
+## 高精度平方根
+
+最后考虑高精度的牛顿迭代法。迭代的方法是不变的，但这次我们需要关注初始时近似解的设置，即 $x_0$ 的值。由于高精度的数非常大，因此不同的初始值对于算法效率的影响也很大。一个自然的想法就是考虑 $x_0=2^{\left\lfloor\frac{1}{2}\log_2n\right\rfloor}$，这样既可以快速计算出 $x_0$，又可以较为接近平方根的近似解。
+
+给出 Java 代码的实现：
+
+```java
+public static BigInteger isqrtNewton(BigInteger n) {
+	BigInteger a = BigInteger.ONE.shiftLeft(n.bitLength() / 2);
+	boolean p_dec = false;
+	for (;;) {
+		BigInteger b = n.divide(a).add(a).shiftRight(1);
+		if (a.compareTo(b) == 0 || a.compareTo(b) < 0 && p_dec)
+			break;
+		p_dec = a.compareTo(b) > 0;
+		a = b;
+	}
+	return a;
+}
+```
+
+实践效果：在 $n=10^{1000}$ 的时侯该算法的运行时间是 $60\,ms$，如果我们不优化 $x_0$ 的值，直接从 $x_0=1$ 开始算，那么运行时间将达到 $120\,ms$。
+
+## 习题
+- [UVa 10428 - The Roots](https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=16&page=show_problem&problem=1369)
+
+**本页面主要译自博文 [Метод Ньютона (касательных) для поиска корней](http://e-maxx.ru/algo/roots_newton) 与其英文翻译版 [Newton's method for finding roots](https://cp-algorithms.com/num_methods/roots_newton.html)。其中俄文版版权协议为 Public Domain + Leave a Link；英文版版权协议为 CC-BY-SA 4.0。**
diff --git a/mkdocs.yml b/mkdocs.yml
index f7ff2e78..9e243b01 100644
--- a/mkdocs.yml
+++ b/mkdocs.yml
@@ -170,6 +170,7 @@ nav:
       - 线性基: math/basis.md
     - 复数: math/complex.md
     - 分段打表: math/dictionary.md
+    - 牛顿迭代法: math/newton-method.md
     - 数论函数相关:
       - 莫比乌斯反演: math/mobius.md
       - 杜教筛: math/du-sieves.md
-- 
2.11.0