From 99047d7f3e6fd13e1f6ceb871795f818c8d3bb8d Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Wed, 26 Jun 2019 02:13:39 +0800
Subject: [PATCH] upd stirling numbers

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 docs/math/stirling.md | 28 +++++++++++++++++++++++++++-
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-## Stirling 数（子集划分）
+## 第一类 Stirling 数
+
+设有多项式 $x(x-1)(x-2) \cdots (x-n+1)$，它的展开式形如 $s_nx^n - s_{n-1}x^{n-1}+s_{n-2}x^{n-2}-\cdots$。
+
+不考虑各项系数的符号，将 $x^r$ 的系数的绝对值记做 $s(n, r)$，称为第一类 Stirling 数。
+
+关于第一类 Stirling 数的性质可以阅读 [Stirling Number of the First Kind](http://mathworld.wolfram.com/StirlingNumberoftheFirstKind.html)。
+
+### 递推形式
+
+$$
+s(n,r) = (n-1)s(n-1,r)+s(n-1,r-1),\ n > r \geq 1
+$$
+
+## 第二类 Stirling 数
+
+把 n 个不同的球放到 r 个相同的盒子里，假设没有空盒，则放球方案数记做 $S(n, r)$，称为第二类 Stirling 数。
+
+关于第二类 Stirling 数的性质可以阅读 [Stirling Number of the Second Kind](http://mathworld.wolfram.com/StirlingNumberoftheSecondKind.html)。
+
+### 递推形式
+
+$$
+S(n,r) = r S(n-1,r) + S(n-1,r-1),\ n > r \geq 1
+$$
+
+## 例题
 
 根据例题来讲解：  
 （2007 普及）将 $n$ 个数 $（1，2，…，n）$ 分成 $r$ 个部分。每个部分至少一个数。将不同划分方法的总数记为 $S_n^r$ 。例如， $S_4^2=7$ ，这 7 种不同的划分方法依次为 $\{\ (1) , (234) \}\,\{\ (2) ,  (134) \}\,\{\ (3) , (124) \}\,\{\ (4) , (123) \}\,\{\ (12) , (34) \}\,\{\ (13) , (24) \}\,\{\ (14) , (23) \}$ 。当 $n=6，r=3$ 时， $S_6^3$ =（）
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2.11.0