From fb96bf6e1d01bc690d4c9776c977a302ff659b2d Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: mxr612 <m_gt_@outlook.com>
Date: Sat, 24 Oct 2020 17:38:08 +0800
Subject: [PATCH] =?utf8?q?=E5=A4=8D=E5=88=B6=E4=BA=86=E5=8D=9A=E5=AE=A2?=
 =?utf8?q?=E4=B8=8A=E7=9A=84=E8=AF=81=E6=98=8E?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=utf8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

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 docs/math/mobius.md | 18 ++++++++++++++++++
 1 file changed, 18 insertions(+)

diff --git a/docs/math/mobius.md b/docs/math/mobius.md
index 8007926e..f285ba56 100644
--- a/docs/math/mobius.md
+++ b/docs/math/mobius.md
@@ -318,6 +318,24 @@ $$
 
 易知如下转化： $f\ast\mu=g*1*\mu\implies f\ast\mu=g$ （其中 $1\ast\mu=\varepsilon$ ）。
 
+对于第二种形式:
+
+类似上面的方法一, 我们考虑逆推这个式子.
+$$
+\begin{aligned}
+&\sum_{n|d}{\mu(\frac{d}{n})f(d)} \\ 
+    =& \sum_{k=1}^{+\infty}{\mu(k)f(kn)}
+    = \sum_{k=1}^{+\infty}{\mu(k)\sum_{kn|d}{g(d)}} \\
+    =& \sum_{n|d}{g(d)\sum_{k|\frac{n}{d}}{\mu(k)}}
+    = \sum_{n|d}{g(d)\epsilon(\frac{n}{d})} \\ 
+    =& g(n)
+\end{aligned}
+$$
+
+我们把$d$表示为$kn$的形式, 然后把$f$的原定义代入式子.  
+发现枚举$k$再枚举$kn$的倍数可以转换为直接枚举$n$的倍数再求出$k$,  
+发现后面那一块其实就是$\epsilon$, $g*\epsilon=g$.
+
 * * *
 
 ## 问题形式
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2.11.0